Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

38 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER
m 0
m ∗ hh
m 0
m ∗ lh
[100] γ 1 − 2γ 2 γ 1 + 2γ 2
[110]
1
2 (2γ 1 − γ 2 − 3γ 3 )
1
2 (2γ 1 + γ 2 + 3γ 3 )
[111] γ 1 − 2γ 3 γ 1 + 2γ 3
Tabelle 3.4: Effektive Löchermassen am Γ-Punkt in verschiedene Kristallrichtungen.
Die Luttingerparameter stellen für die Bandstrukturberechnung mit der k·p -
Methode vernünftige Größen dar, jedoch haben sie keine direkte physikalische Bedeutung.
Aber sie stehen in Zusammenhang mit den effektiven Löchermassen in
verschiedene Kristallrichtungen (Tabelle 3.4). So können z.B. aus dem Experiment
bestimmte effektive Massen und die Luttingerparameter ineinander umgerechnet
werden.
Die akzeptierten Werte der Spinbahnabspaltung sind ∆ GaAs = 0, 34 eV , ∆ AlAs =
0, 28 eV und ∆ InAs = 0, 38 eV [48, 46, 44], die durch Elektroreflektion an Schottky-
Barrieren gemessen wurden. Vurgaftman et al empfiehlt neu ∆ InAs = 0, 39 eV .
Die Spinabspaltung wird für Al x Ga 1−x As und für In x Ga 1−x As aus denen ∆
von GaAs und AlAs bzw. InAs durch lineare Interpolation wie in (3.59) bestimmt.
Für GaAs wird die Bandlücke am Zonenzentrum (Γ-Punkt) bei einer Temperatur
von 300 K meist mit Eg
GaAs = 1, 424 eV angegeben [48]. Die Bandlücke ist stark
temperaturabhängig. Man setzt die empirische Varschni-Formel [44] an:
E g (T ) = E g (T = 0) − αT 2
T + β
(3.60)
Für GaAs werden von Levinshtein und Rumyantsev [49] und Vurgaftman et.
al. [44] ähnliche Werte von E g (T = 0) = 1, 519 eV , α GaAs = 0, 5405 meV/K und
β GaAs = 204 K angegeben.
Da bei AlAs und für Al x Ga 1−x As (mit x > 0, 45) sich kein Minimum des Leitungsbandes
am Γ-Punkt befindet, ist eine Unterscheidung zwischen der eigentlichen
Bandlücke (2, 168 eV ) und der am Zonenzentrum wichtig. Da die letztere für die
k·p-Berechnung entscheidend ist, wird sie in dieser Arbeit ebenso als E g bezeichnet.
Sowohl Chuang [46] als auch Vurgaftman et. al. [44] geben die Bandlücke bei Raumtemperatur
mit Eg
AlAs = 3, 03 eV und bei 0 K mit Eg
AlAs (T = 0) = 3, 13 eV an. Die
Temperaturabhängigkeit beschreiben α AlAs = 0, 885 meV/K und β AlAs = 530 K
[44]. Die Bandlücke von InAs besitzt eine höhere Temperaturabhängigkeit. Die Werte
von Lawaetz et al [41], Chuang [46] und Vurgaftman et al [44] stimmen nahezu
überein. Bei Raumtemperatur ist Eg
InAs = 0, 354 eV und bei 0 K ist Eg InAs (T =
0) = 0, 417 eV . Die Faktoren der Varschni-Formel sind α InAs = 0, 276 meV/K und
β InAs = 93 K [44].
Die Bandlücke für Legierungen von GaAs und AlAs bzw. InAs wird oft durch
lineare Interpolation zwischen den GaAs- und AlAs- bzw. InAs-Bandlücken ermittelt.
Genauer setzt man E g an, wenn man die Bandlücken nicht linear, sondern mit
einem Polynom dritten (bzw. zweiten) Grades interpoliert [44]:
E Al xGa 1−x As
g = (1 − x)Eg
GaAs + xEg
AlAs + x(1 − x)(0, 127 + 1, 310x)eV
(3.61)
E In xGa 1−x As
g = (1 − x)Eg
GaAs + xEg InAs + x(1 − x) · 0, 477eV (3.62)
Obwohl ab-inito-Bandstrukturmethoden effektive Elektronenmassen für GaAs
von teils weit über 0, 07 m 0 erhalten [50, 47], ist der akzeptierte Wert m GaAs
e =