Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

1.3. FUNKTIONSPRINZIP 11
erzeugt.
Im aktiven Laser gehen durch die Spiegel oder durch Streuung ins Substrat Photonen
”
verloren“. Eine notwendige Bedingung für die Laseraktivität ist deshalb, daß
genügend neue Photonen in der aktiven Zone erzeugt werden, also die Rekombination
der Absorption überwiegt. Für einen Übergang E 1 → E 2 ist die Rekombination
durch das Produkt aus der Besetzungswahrscheinlichkeit der Elektronen im Leitungsband
f C (E 1 ) und der Wahrscheinlichkeit der Nichtbesetzung (1 − f V (E 2 )) der
Elektronen im Valenzband, d.h. aus der Besetzungswahrscheinlichkeit der Löcher,
bestimmt; die Absorption dagegen durch f V (E 2 ) (1 − f C (E 1 )). Die Bedingung der
Laseraktivität ist also
( ) ( )
f C (E 1 ) 1 − f V (E 2 ) − f V (E 2 ) 1 − f C (E 1 ) > 0 (1.2)
Setzt man die Definition der Fermifunktion (1.1) in (1.2) ein, erhält man
E FC − E FV > E 1 − E 2 = ¯hω (1.3)
Da die Temperatur in (1.3) nicht enthalten ist, gilt die Bedingung für alle Temperaturen.
Abbildung 1.5: Nur direkte Übergänge tragen zur Laseraktivität bei.
Bedingung für einen Übergang E 1 → E 2 ist die Erhaltung des Gesamtimpulses.
Es muß also für die Wellenvektoren des Elektrons (bzw. Loches) im Valenzband ⃗ k V ,
des Elektrons im Leitungsband ⃗ k C und des Photons ⃗ k P
¯h ⃗ k V + ¯h ⃗ k P = ¯h ⃗ k C
gelten. Da der Impuls der Elektronen viel größer als der der Photonen ist, muß der
Übergang E 1 → E 2 vertikal, d.h. unter konstantem Wellenvektor, stattfinden (siehe
Abbildung 1.5).
⃗ kV = ⃗ k C (1.4)
Diese Forderung des direkten Übergangs wird k-selection-rule [5] genannt.
Bei indirekten Halbleitern haben die Minima von Leitungs- und Valenzband verschiedene
k-Vektoren. Für einen solchen indirekten Übergang ist ein Gitterphonon
nötig, das den fehlenden Impuls aufnimmt. Indirekte Übergänge sind zwar möglich,
jedoch viel schwächer als direkte. Dies ist auch ein Grund, warum für kristallines
Silizium keine Laseraktivität beobachtet wurde.