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46 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN 4.2 Behandlung von äußeren elektrischen Potentialen Äussere elektrische Potentiale durch anliegende Spannungen, Dotierungen und Ladungsträgerdichten können zu diesem Hamiltonian bzw. zum Kastenpotential addiert werden. Eine fortgeschrittene Behandlung betrachtet die Subbandstruktur und die Poissongleichung selbstkonsistent. Diese Untersuchungen sind nicht Ziel dieser Arbeit und würden über ihren Umfang hinausgehen. Ohne die selbstkonsistente Betrachtung von Subbandstruktur und Poissongleichung kann die Subbandstruktur im selbstkonsistenten Lasersimulator als Vorberechnung (preprocessoring) implementiert werden. Wie Abbildung 4.1 zeigt, sind im lasenden Zustand oberhalb des Schwellstromes die Potentiale flach, und die Annahme von flachen Bändern in der k·p-Berechnung ist sinnvoll. Abbildung 4.1: Im lasenden Zustand sind Valenz- und Leitungsbandkante flach. 4.3 Pikus-Bir-Hamiltonian mit Verspannung Äussere Verspannungen oder Verspannungen in Heterostrukturen durch verschiedene Gitterkonstanten der aufgewachsenen Materialien verändern die Bandstruktur der Elektronen und Löcher. Durch die Verspannungseffekte ist somit die Wellenlänge der Halbleiterlaser veränderbar, wodurch ihre Anwendung eine einfache und in den letzten Jahren gut erforschte Methode ist, um gewünschte Wellenlängen zu erhalten. Zusammen mit der Beherrschung der Quantum-Wellbreite und der Barrierenhöhe wird sie als band structure engineering [64, 65, 66, 67] bezeichnet. Bleibt die Auslenkung der Deformation (englisch strain) klein, ist die rücktreibende Kraft (englisch stress) proportional der Auslenkung. Dieses Prinzip ist als Hookesches Gesetz (4.14) oder Gesetz der Elastizität bekannt. Dabei ist C das materialabhängige Elastizitätsmodul bzw. Young-Modul. Eine allgemeinere Form des Hookeschen Gesetzes ist σ = Cε (4.14)
4.3. PIKUS-BIR-HAMILTONIAN MIT VERSPANNUNG 47 ⎡ ⎢ ⎣ σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ zx ⎤ ⎡ = ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎤ C 11 C 12 C 12 0 0 0 C 12 C 11 C 12 0 0 0 C 12 C 12 C 11 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 ⎥ 0 0 0 0 C 44 0 ⎦ 0 0 0 0 0 C 44 ⎡ ⎢ ⎣ ε xx ε yy ε zz ε xy ε yz ε zx ⎤ ⎥ ⎦ (4.15) Hier sind C 11 , C 12 und C 44 Steifheitskonstanten. Diese werden in Einheiten von 10 11 dyn/cm 2 (= 10GP a) angegeben. Durch die Deformation werden die Gittervektoren im realen und im reziproken Raum verändert. ⃗r ′ = (1+ = ε) · ⃗r (4.16) ⃗ k ′ = (1− = ε) · ⃗k (4.17) In den neuen, gestrichenen Koordinaten kommt zu dem Hamiltonian (3.23) durch die Verspannung ein Term hinzu, der als Störung des undeformierten Kristalls betrachtet wird. (Ĥ0 + H ε ) Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) = E n ( ⃗ k ′ )Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) (4.18) wobei ˆp 2 Ĥ 0 = + V (⃗r) (4.19) 2m 0 ∑ H ε = ˆD αβ ε αβ = ∑ (− 1 ) p α p β + V αβ ε αβ (4.20) m 0 α,β=x,y,z α,β ∂V V αβ = lim (4.21) ε αβ →0 ∂ε αβ Synchron zu (3.22) wird die Wellenfunktion in ein Produkt einer gitterperiodischen Blockfunktion u n ⃗ k ′(⃗r ′ ) und e i⃗ k ′·⃗r ′ zerlegt. Mit u s n ⃗ k (⃗r) = u n ⃗ k ′ (⃗r ′ ) (4.22) Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) = e i⃗ k ′·⃗r ′ u n ⃗ k ′(⃗r ′ ) = e i⃗k·⃗r u s n ⃗ (⃗r) (4.23) k wird äquivalent aus der Eigenwertgleichung (3.24) für das unverspannte Gitter die für das verspannte ( ) Ĥ 0 + ¯h⃗ kˆp + ¯h2 k 2 + H ε + H εk u s m 0 2m n ⃗(⃗r) = E k n( ⃗ k)u s n ⃗ (⃗r) (4.24) k 0 mit H εk = −2 ¯h m 0 ∑ α,β=x,y,z k α ε αβ p β (4.25) Eine in ihrer Gestalt dem in 3.7 vorgestellten Luttinger-Kohn-Hamiltonian ähnliche Matrix, der sogenannte Pikus-Bir-Hamiltonian [68, 69, 55, 70], wird zur Beschreibung der 6 gekoppelten Löcherbänder HH, LH und SO im verspannten Gitter verwendet.
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