Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

5.1. DER LÖSUNGSALGORITHMUS 65
5.1.3 Die Übertragungsfunktion
Gesucht wird die Gesamtübertragungsmatrix
U = T 1 · T 2
= (M0 −1 M 1P 1 )(M1 −1 M 2P 2 ) (5.17)
[ ]
Ua U
=
b
U c U d
mit den N × N-Matrizen U a , U b , U c und U d , die (5.16) erfüllt und für die sie somit
die Eigenwerte liefert.
[ ] [ ] [ ]
0
⃗Φ 0 Ua U
= B ⃗ 0
=
b ⃗A 2
= U Φ
U c U d 0
⃗ 2 (5.18)
Diese Bedingung ist nur erfüllt, wenn
und somit
[
0
]
= Ua
[ ⃗A 2 ] (5.19)
t = det U a = 0 (5.20)
wird. Die energieabhängige Funktion t(E) wird als Übertragungsfunktion bezeichnet.
U a und somit det U a sind in der Regel komplex. Es wäre zwar möglich, unabhängig
für den realen und den imaginären Teil von t(E) nach Nulldurchgängen, also Vorzeichenwechseln,
zu suchen. Dies ist jedoch numerisch nicht umsetzbar, weil sich der
Imaginär- und der Realteil oft in der Größenordnung drastisch unterscheiden und
Zahlen nahe der Rechengenauigkeit des Computers schnell das Vorzeichen wechseln.
Deshalb ist es vernünftiger, nach den Nullstellen von |t(E)| zu suchen. Dies ist paradoxerweise
numerisch auch nicht möglich. Der Computer kann E nicht so genau
auflösen, daß |t(E)| = 0 wird; es gibt jedoch ein deutliches Minimum des Betrages
mit einem Wert nahe bei Null. Die Erfahrung zeigt, daß alle Minima von |t(E)| für
E innerhalb des Quanten-Well-Potentials Eigenwerte sind. Ein Beispiel für |t(E)|
zeigt Abbildung 5.2 auf Seite 69 für den Einbandfall.
5.1.4 Ermittlung der Wellenfunktionen
Man erhält für die Eigenenergie, für die (5.20) erfüllt ist, die Linearfaktoren A 2 n
durch Lösen des linearen Gleichungssystems (5.19). Diese sind bis auf eine Konstante
bestimmt. Die Faktoren A 1 n, B 1 n und B 0 n findet man durch Multiplikation mit T 3
bzw. U c .
[ ⃗A 1
⃗B 1 ]
= T 3
[ ⃗A 2
0
⃗B 0 = U c
⃗ A
2
]
(5.21)
(5.22)
Normiert wird die Wellenfunktion durch die Forderung
∫ ∞
−∞
Ψ ∗ (z)Ψ(z)dz = 1 (5.23)
also durch Teilen aller Linearfaktoren A j n und B j n durch die Wurzel des Integrals.