Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

108 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK
TE-Polarisation
TM-Polarisation
3
CB-HH
4 (1 + cos2 3
(θ))
2 sin2 (θ)
5
CB-LH
4 − 3 4 cos2 1
(θ)
2 (1 + 3 cos2 (θ))
CB-HH 9/8 3/4
CB-LH 7/8 5/4
Tabelle 7.3: Der polarisationsbestimmende Faktor P i,j (θ) in den optischen Matrixelementen
und sein von θ-unabhängiger Mittelwert.
entspricht der Verwendung des Bulk-k z in der Herleitung des Bandstrukturalgorithmus
in Kapitel 5 (siehe insbesondere Gleichung (5.33)).
Mit folgendem Ansatz wird ein Mittelmaß zwischen θ des Elektrons und θ des
Loches gebildet. m e und m h sind die effektiven Massen des Leitungsbandes und des
Valenzbandes im homogen Medium.
)
E = E g + ¯h2 k 2 −
(− ¯h2 k 2
2m e 2m h
= E g + ¯h2
2
(
k 2 ρ + k 2 z
) ( 1
m e
+ 1
m h
)
(7.13)
Man führt die reduzierte effektive Masse m r ein mit 1/m r = 1/m e + 1/m h . Für
GaAs ist m h r = 0, 0569 m 0 für ein Elektron-schweres Loch-Paar und m l r = 0.0385 m 0
für ein Elektron-leichtes Loch-Paar.
Der Winkel θ(E) ergibt sich im realen bzw. im Berechnungskoordinatensystem
k2 ρ
sin 2 (θ) =
kρ 2 + kz
2
= ¯h2 kρ
2 ·
(7.14)
2m r E − E g
= ¯h2 kρ
2 ·
2m r Ē i (k ρ ) + Ēj(k ρ )
(7.15)
Dieser Ausdruck ist allgemein gültig. In ihm befinden sich die Informationen der
QW- und der Bulkdispersion. Für die Rekombination des Elektronensubbandes i
und eines HH-Lochsubbandes j benötigt man die QW-Dispersionen E i (k ρ ) und
E j (k ρ ) sowie die Bulkdispersionen E c ( ⃗ k) und E h ( ⃗ k).
Approximiert man die Subbänder der Elektronen und Löcher mit Parabeln, kann
(7.14) vereinfacht werden. Im Folgenden ist m r ij die reduzierte effektive Masse des
Elektronensubbandes i und des Löchersubbandes j.
)
E(k ρ ) = E i0 + ¯h2 kρ 2 −
(E j0 − ¯h2 kρ
2 = E i0 − E j0 + ¯h2
2m i 2m j 2m r kρ 2 (7.16)
ij
sin 2 (θ) = mr ij
m r
·
Als weitere Vereinfachung wurde
1
1 + E i0−E j0 −E g
E
(7.17)
cos(θ) = E i0 − E j0
(7.18)
E
vorgeschlagen [23]. Man beachte im Vergleich mit den Quellen [46, 23] die Lage und
Orientierung der Energieachsen.