Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

50 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN
Man beachte, daß in der Literatur [72, 73, 74] auch der unkorrekte Nenner a 0
steht.
Damit die Spannung σ xx in z-Richtung verschwindet, muß
und somit
Setzt man ε = ε xx = ε yy erhält man nun
0 = σ xx = C 12 (ε xx + ε yy ) + C 11 ε zz (4.33)
ε zz = − 2C 11
C 12
ε xx (4.34)
)
P ε = −2a v
(1 − C 12
C 11
ε
( )
Q ε = −b 1 + 2 C12
C 11
ε
(4.35)
P ε führt zu einer konstanten Verschiebung aller Bänder und wird als hydrostatische
Komponente der Verspannung δE hy bezeichnet. Dagegen bewirkt Q ε eine
Aufspaltung zwischen dem Band der leichten und der schweren Löcher und wird
mit ζ abgekürzt. Das Doppelte von ζ wird als Scherspannung δE sh bezeichnet. Mit
dieser Umbenennung kann man wieder P , Q, R und S anstatt P k , Q k , R k und S k
schreiben.
Der Pikus-Bir-Hamiltonian wird damit zu
⎡
P + Q + ζ −S R 0 − √ 2
2 S √ ⎤ 2R
−S ∗ P − Q − ζ 0 R − √ √
2Q 6
2 S
√
√ Ĥ S = −
R ∗ 3
0 P − Q − ζ S
2 S∗ 2Q
0 R
⎢
∗ S ∗ P + Q + ζ − √ 2R ∗ − √ 2
−δE hy
2 S∗
⎣ − √ 2
2 S∗ − √ 2Q ∗ √
6
2 S −√ ⎥
2R P + ∆ 0 ⎦
√ √
2R
∗
6
√
2 S∗ 2Q
∗
− √ 2
2 S 0 P + ∆ (4.36)
Mit der gemachten Annahme, daß die Barrierenschicht viel dicker als die QW-
Schicht ist, wird nur die QW-Schicht verspannt und im Substrat ist ζ = 0 und
δE hy = 0. Dies ist der Spezialfall für T = 0 in (4.37).
Für Al x Ga 1−x As − GaAs-Heterostrukturen wird wegen der höheren Gitterkonstante
(siehe Tabelle 4.2) von Al x Ga 1−x As gegenüber GaAs die QW-Schicht immer
gedehnt (siehe Abbildungen 4.2 und 4.3). Dagegen werden In x Ga 1−x As − InP -
Heterostrukturen für x > 0, 532 gedehnt und für x < 0, 532 zusammengepreßt.
Für die äußere uniaxiale Spannung T entlang der z-Achse folgt für den Volumenhalbleiter
wegen σ zz = T und σ xx = σ yy = 0
−C 11
ε xx = ε yy =
C11 2 + C 11C 12 − 2C12
2 T
C 11 + C 12
ε zz =
C11 2 + C 11C 12 − 2C12
2 T (4.37)
Wird eine Heterostruktur entlang der Aufwachsrichtung z uniaxial gespannt,
ändern sich die angepaßten Gitterkonstanten der QW-Schicht und des Substrates
zusammen. Da die Gitterkonstante des Substrates nur durch die äußere Spannung
verändert wird, gilt für das Substrat weiterhin (4.37). Für die QW- Schicht ist nun