Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

20 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER
kristallisieren, ähnlich. Die Ähnlichkeit mit dem Diamant beruht auf der gleichen
Gesamtzahl von Valenzelektronen, denn das Element der 3. Hauptgruppe steuert 3
Valenzelektronen, das der 5. Hauptgruppe 5 Valenzelektronen bei, was insgesamt
der Valenzelektronenzahl 4 beim Kohlenstoff entspricht. Der Zinkblendekristall besitzt
die Punktgruppe ¯43m (T d in der Schönflies’ Symbolik). Die Punktgruppe des
Diamantgitters besitzt eine zusätzliche Inversionssymmetrie.
Die Halbleiter haben eine Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband, die
kleiner als bei Isolatoren ist. So können sich im thermischen Gleichgewicht Elektronen
im Leitungsband befinden. Verlässt ein Elektron sein Gitteratom, fehlt ein
Valenzelektron in einer kovalenten Bindung. Übernimmt ein Valenzelektron eines
anderen Atoms seinen Platz, fehlt dort ein Valenzelektron. Diese Fehlstellen werden
als Löcher bezeichnet, die sich in umgekehrter Richtung der lückenfüllenden
Elektronen bewegen.
Der Festkörper hat festgelegte Eigenzustände mit Eigenfunktionen. Die Eigenfunktion
jedes Zustandes kann näherungsweise als Produkt der Einteilcheneigenfunktionen
betrachtet werden. Die Energie des Zustandes erhält man als Summe
der Einteilcheneigenenergien. Man betrachtet die einzelnen Elektronen und Löcher
in Wechselwirkung, d.h. im Potential, des restlichen Festkörpers. Die Translationssymmetrie
des Gitters, also auch dessen Potential,
ˆT V (⃗r) = V (⃗r + ⃗ R) (2.1)
das die Ladungsträger spüren, führt dazu, daß die Elektronen- und Löcherwellenfunktionen
ebenso translationssymmetrisch sind,
ˆT Ψ ⃗k (⃗r) = Ψ ⃗k (⃗r + ⃗ R) = e i⃗ k· ⃗R Ψ ⃗k (⃗r) (2.2)
wobei ⃗ R ein Gittervektor, also eine ganzzahlige Linearkombination der (nicht komplanaren)
Basisvektoren ⃗a i , ist. Mit ˆT ist der Translationsoperator bezeichnet.
⃗R = n 1 ⃗a 1 + n 2 ⃗a 2 + n 3 ⃗a 3 (2.3)
Da e i⃗ k· ⃗R genauso wie ˆT transformiert (2.2), können die irreduzierbaren Darstellungen
der Translationsgruppe ˆT mit ⃗ k bezeichnet werden. Funktionen, die (2.2)
erfüllen, werden Blochfunktionen genannt. Die Gruppe ˆT eines Kristalls der Ausdehnung
N 1 ⃗a 1 × N 2 ⃗a 2 × N 3 ⃗a 3 , wobei N 1 , N 2 und N 3 sehr große ganze Zahlen sind,
hat N 1 · N 2 · N 3 Darstellungen.
Es existiert ein k-Raum mit reziprokem Gitter, dessen Gittervektoren ⃗ K
e i ⃗ K· ⃗R = 1 ∀ ⃗ R (2.4)
erfüllen. So definieren ⃗ k und ⃗ k + ⃗ K dieselbe Darstellung. Um die Darstellungen eindeutig
zu benennen, muß man sich auf die Einheitszelle des reziproken Gitters – die
Brillouinzone – beschränken (siehe Abbildung 2.2). Ab nun werden nur die ⃗ k innerhalb
der Brillouinzone betrachtet. Ihre Gitterkonstante (Strecke ΓX in Abbildung
2.2) beträgt
k max = 2π
a 0
(2.5)
Wendet man eine Rotation aus der Punktgruppe ˆR auf die Wellenfunktion Ψ ⃗k (⃗r)
mit dem Wellenvektor ⃗ k an, wird diese in eine neue Funktion Ψ ⃗k ′(⃗r) mit dem Wellenvektor
⃗ k ′ transformiert. Damit ⃗ k · ⃗R invariant bleibt, erhält man ⃗ k ′ (und ⃗ k · ⃗R ′ ),
indem man dieselbe Rotation ˆR auf ⃗ k im reziproken Raum und auf ⃗ R im Ortsraum
wirken läßt.