Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 71
Das Plus in ”
±“ ist für die schweren Löcher, das Minus für die leichten, wie man
durch Setzen von k ρ = 0 im Vergleich mit den entkoppelten k z am Zonenzentrum
überprüfen kann. Die Wellenfunktionen der schweren und der leichten Löcher für
H U sind:
Ψ HH (⃗r) =
Ψ LH (⃗r) =
[ ]
F1HH
e
F i⃗k⃗r =
2HH
[ ]
F1LH
e
F i⃗k⃗r =
2LH
[ ]
P − (Q + ζ) − Ē
− ˜R ∗ e i⃗ k⃗r
[
]
˜R ∗
e i⃗ k⃗r
Ē − P − (Q + ζ)
(5.57)
(5.58)
So ist der Ansatz für die Wellenfunktionen analog zu (5.5)
Ψ j (z) = A j HH
+ B j HH
[
F
j
1HH
F j 2HH
[
F
j−
1HH
F j−
2HH
]
]
e ikj,HH z (z−d j) + A j LH
e −ikj,HH z (z−d j ) + B j LH
[
F
j
1LH
F j 2LH
[
F
j−
1LH
F j−
2LH
]
e ikj,LH z (z−d j)
]
e −ikj,LH z (z−d j )
(5.59)
Das Minus in F j−
1/2 HH/LH ersetzt kj z durch −kz.
j
Die kz- 2 und k z -Terme in (5.51) sind
mit
a =
[
u 0
0 w
]
b =
[
0 v
−v 0
]
(5.60)
u = ¯h2
2m (γ 1 − 2γ 2 )
So müssen an den Bereichsgrenzen
v = √ 3 ¯h2
2m γ 3k ρ
w = ¯h2
2m (γ 1 + 2γ 2 ) (5.61)
⎡
⎣ uj ∂ ∂z
−v j
v j
w j ∂ ∂z
Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.62)
⎤
⎡
⎤
⎦ Ψ j (z) = ⎣ uj+1 ∂ ∂z
v j+1
⎦ Ψ j+1 (z) (5.63)
−v j+1
w j+1 ∂ ∂z
gelten. Die Grenzbedingungen können in Matrizen geschrieben werden
⎡ ⎤
⎡
A j,HH
A (j+1),HH ⎤
M j
⎢ A j,LH
⎥
⎣ B j,HH ⎦ = M j+1P j+1
⎢ A (j+1),LH
⎥
⎣ B (j+1),HH ⎦ (5.64)
B j,LH
B (j+1),LH
mit
und
⎡
P j =
⎢
⎣
e −ikj,HH z l j
0 0 0
0 e −ikj,LH z l j
0 0
0 0 e ikj,HH z l j
0
0 0 0 e ikj,LH
z l j ⎥
⎦
⎤
(5.65)