Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

28 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER
Ψ =
N∑
c n Φ n (3.6)
n=1
Setzt man (3.6) in (3.1) ein und wendet das innere Produkt mit Φ m an, ergibt
sich für einen orthonormierten Satz von Funktionen {Φ n }
mit den Matrixelementen
N∑
(H mn − Eδ mn ) c n = 0 (3.7)
n=1
∫
H mn = Φ ∗ mĤΦ n (3.8)
Die Eigenwertgleichung (3.7) kann gelöst werden, indem man
setzt.
det (H mn − Eδ mn ) = 0 (3.9)
3.3 LÖWDIN’s Methode der Störungstheorie
LÖWDIN’s Methode der Störungstheorie [1]
Die Eigenzustände n werden in zwei Klassen (A) und (B) unterteilt, wobei vor
allem die Zustände der Klasse (A) interessieren, und der Einfluß der Zustände der
Klasse (B) als Störung auf die Zustände der Klasse (A) behandelt wird. Das Eigenwertproblem
(3.7) kann nun geschrieben werden als
und man erhält mit
(E − H mm ) c m = ∑ nɛA
n≠m
H mn c n + ∑ αɛB
α≠m
H mα c α (3.10)
h mn =
c m = ∑ nɛA
n≠m
H mn
E − H mn
h mn c n + ∑ αɛB
α≠m
h mα c α (3.11)
Die linke Summe ist über die Zustände der Klasse A, die rechte Summe über die
Zustände der Klasse B. Man ersetzt nun die Zustände der Klasse B, indem man in
der rechten Summe die Koeffizienten c durch (3.11) iterativ ersetzt. Dieses Vorgehen
führt zu folgendem Ausdruck:
c m = ∑ nɛA
n≠m
⎛
⎜
⎝ h mn + ∑ h mα h αn +
αɛB
α≠m
Führt man die Matrixelemente
U A mn = H mn +
∑ αɛB
α≠m,n
H mα H αn
E − H αα
+
∑
α,βɛB
α,β≠m, α≠β
∑
α,βɛB
α,β≠m,n, α≠β
⎞
h mα h αβ h βn + · · · ⎟
⎠ c n (3.12)
H mα H αβ H βn
(E − H αα )(E − H ββ ) + · · · (3.13)