Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

4.9. ANWENDUNGSBEREICH DES EFA 59
Chuang [72] entwickelte ein ähnliches, analytisches Verfahren, jedoch mit signifikanten
Vereinfachungen. Er ermittelte die Bulkeigenenergien und -wellenfunktionen
gleich mit dem blockdiagonalisierten Hamiltonian. Als Eigenfunktionen wählte er
ebenso eine Linearkombination aus den hin- und rücklaufenden Bulkwellenfunktionen,
jedoch nur aus den zwei desselben 2×2-Blockes. Dadurch blieben 8 freie
Parameter. Chuang betrachtete die sich aus den Grenzbedingungen ergebenden
Verbreitungs- oder Übertragungsmatrizen (propagation, transition oder transfer matrizes)
an einem Übergang und dem durch deren Multiplikation resultierende Gesamtübertragungsmatrix.
Diese sind 4×4-Matrizen. Die Eigenenergien ergeben sich
aus der Nullstelle einer 2×2-Determinante. Dieses analytische Verfahren ist bei
gleicher Wahl der Ansatzfunktionen äquivalent zu der Transfer-Matrix-Methode
[86, 76, 87, 88, 89, 90, 91, 59, 92].
Die Finite Differenzen-Methode (FDM) [93, 94, 77, 78, 26] unterteilt den Quantengraben
und einen Bereich in der Barriere in äquidistante Stücke mit N Stützstellen.
In diesen werden aus allen Differenzialquotienten in Ĥ die Differenzenquotienten
ermittelt. Es entsteht eine N × N- Matrix, deren Eigenwerte zu bestimmen
sind. Da abrupte Übergänge, wie die Bandkantendiskontinuität in QW-Strukturen,
in der FDM durch steile Schrägen approximiert werden, wird eine Vielzahl von
Stützpunkten benötigt, und die FDM-Matrizen werden sehr groß. Vorteil der FDM
ist ihre leichte Anwendung für schiefe Potentiale, z.B. durch ein elektrostatisches
Potential oder Störstellen.
Die Finite Elemente-Methode (FEM) kann beides, die Envelopenfunktionen an
abrupten Übergängen exakt“ zur Stetigkeit bringen und beliebige Potentiale berechnen.
Zudem müssen die Stützpunkte nicht äquidistant sein. Anstatt der tatsäch-
”
lichen Ableitung benutzt sie sogenannte schwache Ableitungen und kommt mit wesentlich
weniger Stützpunkten als die Finite Differenzen-Methode aus [38].
Weitere angewendete Verfahren sind
• die Variationsmethode [75, 95, 96, 97], bei der die Subbandenergie in einem
Ansatz von Wellenfunktionen minimiert wird,
• das Schießverfahren [97] und
• die Quadraturmethode (Integration im Impulsraum) [98].
In dieser Arbeit wird die Methode von Chuang benutzt. Sie wird im nächsten
Kapitel für den Flachbandfall näher vorgestellt.
Anzumerken ist, daß diese Methode wie die FDM und die FEM beliebige Potentiale
durch eine Diskretisierung behandeln kann. An den Stützstellen werden
synchron zu den Materialgrenzen die Übertragungsmatrizen aufgestellt und zur Gesamtübertragungsmatrix
multipliziert.
4.9 Anwendungsbereich des Envelopenfunktionsformalismus
Für Doppelheterostrukturen mit einer Breite wesentlich größer als 20 nm gilt die Annahme
des Envelopenfunktionsformalismus, daß die Ladungsträger nur eine Energiedispersion
innerhalb der Ebene parallel zur Aufwachsrichtung haben, nicht mehr.
Die Quanteneffekte treten nicht mehr auf und man kann die Bandstrukturalgorithmen
für homogenes Material, wie die Pseudopotential- oder die k·p -Methode
anwenden. Es gibt einen Übergangsbereich zwischen dem Modell des homogenen
Halbleiters und dem EFA.
Verkleinert man die Breite des Quantum-Wells auf weniger als ca. 8 nm, verringert
sich die Genauigkeit der durch den EFA berechneten die Quanteneffekte.