Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 69
Abbildung 5.2: (a) Die obere Kurve ist die Übertragungsfunktion (5.47) für
die schweren Löcher bei k ρ = 0 in einem 10nm breiten, unverspannten
GaAs − Al 0,1 Ga 0,9 As-Quantum-Well. Die Singularitäten
sind die Eigenenergien. (b) Die untere Kurve ist die
optimierte Übertragungsfunktion (5.48) für dieselbe Einbandschrödingergleichung.
Zu den Eigenenergien ĒHH1 = 0, 0061 eV ,
Ē HH2 = 0, 0238 eV und ĒHH3 = 0, 0493 eV kommt eine Singularität
hinzu, die keine Lösung der Einbandschrödingergleichung
ist.
erkennt drei Singularitäten bei Ē HH1 = 0, 0061 eV (E HH1 = 0, 0501 eV ), Ē HH2 =
0, 0238 eV (E HH2 = 0, 0324 eV ) und ĒHH3 = 0, 0493 eV (E HH3 = 0, 0069 eV ). Nur
in dem Intervall V 1 = 0 < Ē < ∆Ēv = V 0 können Nullstellen vorkommen.
Die Gleichung (5.47) kann man in eine einfachere umformen (5.48). Dabei tritt
jedoch bei Ē = 0 eine Singularität auf, die keine Lösung ist (siehe untere Kurve im
Diagramm 5.2).
˜t(Ē) = eik1L − m0 zk 1 z + k 0 zm 1 z
m 0 zk 1 z − k 0 zm 1 z
= 0 (5.48)
Zur Ermittlung der Wellenfunktion werden die A j und B j benötigt. O.E.d.A.
wird A 2 = 1 gesetzt. Für das flache Potential (5.26) und gleiche Materialien für
j = 0 und j = 2 ist U c = 1 , wie man leicht nachrechnen kann. Somit ist B 0 = 1. A 1
und B 1 folgen durch Multiplikation mit T 3 . Zusammengefaßt sind die unnormierten
Linearfaktoren
⎡ ⎤
[ ] 0 ⃗Φ 0 =
1
⃗Φ 1 = 1 2
⎣ 1 + m1 z k0 z
k 1 z m0 z
1 − m1 z k0 z
k 1 z m0 z
[ ]
⎦ Φ ⃗ 1 2 =
0
(5.49)
Normiert werden sie durch Division durch die Wurzel des Integrals (5.23), also
durch
√ 2i
kz
0
(
+ i
( ) (
)
2kz
1 2 m1 zkz
0
kzm 1 0 + 1 − m1 zkz
0
z kzm 1 0 e −ik1 z L − 1 + m1 zkz
)e 0
z
kzm ik1 1 0 z L
z
(5.50)
5.3 Berechnung der Zweibandschrödingergleichung
Im Quantum-Well gibt es zwei Anwendungen für die Zweibandschrödingergleichung:
1. die gekoppelte Berechnung der Bänder der leichten und schweren Löcher mit
dem blockdiagonalisierten 4×4-Hamiltonian (4.44) und