Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

34 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER
In der Basis |J, m J 〉 ist J der Gesamtdrehimpuls und m J seine Projektion auf
die z-Achse.
Für den ungenäherten Hamiltonian Ĥ der Eigenwertgleichung
Ĥu n ⃗ k
(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k
(⃗r) (3.42)
wird (3.37) mit Spin-Bahn-Wechselwirkung angenommen :
mit
Ĥ = Ĥ0 + ¯h2 k 2
+ ¯h
2m 0 4m 2 ∇V × ˆp· =σ
0 c2 +Ĥ′ (3.43)
Ĥ 0 =
p 2
+ V (⃗r)
2m 0
(3.44)
Ĥ ′ = ¯h ⃗ k · ˆΠ
m 0
(3.45)
Nach Löwdin’s Methode wird die Eigenwertgleichung
ˆΠ = ˆp + ¯h
4m 0 c 2 =
σ ×∇V (3.46)
gelöst. Man erhält
A∑
(Umn A − Eδ mn )c m ( ⃗ k) = 0 (3.47)
n
Umn A =
[E m (0) + ¯h2 k 2 ]
δ mn + ¯h2 k 2
2m 0 m 2 0
B∑
∑
n ′ ≠m,n α,β
k α k β p α mn ′pβ n ′ n
E 0 − E n ′
(3.48)
Man kann D mn = U A mn in einen Term ohne k und einen mit k trennen :
mit
D mn = E m (0)δ mn + ∑ α,β
[
Dmn αβ = ¯h2 k 2
δ mn δ αβ + 1 ∑
B
2m 0 m 0
n ′
D αβ
mnk α k β (3.49)
p α mn ′pβ n ′ n + pβ mn ′pα n ′ n
E 0 − E n ′
]
(3.50)
Explizites Ausrechnen für kubische Halbleiter ergibt drei unabhängige Konstanten
[28]
N = ¯h2
2m 0
+ ¯h2
m 2 0
M = ¯h2 + ¯h2
2m 0 m 2 0
B∑
L = ¯h2
m 2 0
n
B∑
n
B∑
n
p x 1np x n1
E 0 − E n
(3.51)
p y 1n py n1
E 0 − E n
(3.52)
p x 1np y n2 + py 1n px n2
E 0 − E n
(3.53)
und definiert die sogenannten Luttingerparameter γ 1 , γ 2 und γ 3 [29] als