Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9
Zusammenfassung und
Ausblick
Die k·p -Methode als störungstheoretischer Ansatz ist eine bekanntes Verfahren
zur Ermittlung der Eigenzustände in einem homogenen Halbleiter. In der vorliegenden
Arbeit wurde der Envelopenfunktionsformalismus, eine Möglichkeit der Fortentwicklung
der k·p -Methode für die Beschreibung der Bandstruktur in Quantengräben,
benutzt.
Zwei Modelle der k·p -Methode , das Kane- und das Luttinger-Kohn-Modell,
sowie ihre Grundlagen, der allgemeine störungstheoretische Ansatz und die Methode
von Löwdin, wurden vorgestellt. Im Quanten-Well können mit einer Entwicklung
der Wellenfunktionen nach den Blochfaktoren im Brillouinzonenzentrum die
Hamiltonmatrizen der beiden Modelle verwendet werden. Die Einschränkung der
Ladungsträger in einer Richtung lässt aus den Matrizen Differentialoperatoren werden,
und das Eigenwertproblem wird mit speziellen Bedingungen an den Stoffgrenzen
zum gekoppelten Differentialgleichungssystem. Diese Methode hat den weiteren
Vorteil, daß die Verspannung des Gitters im Quantum-Well durch unterschiedliche
Gitterkonstanten von Substrat und QW-Material, auf eine einfache Art in den
Störungsansatz hinzugenommen werden kann. Verschieden komplexe Modelle zum
Finden der Eigenzustände der Valenz- und Leitungssubbänder sowie Vereinfachungen
wie die Blockdiagonalform und die Axiale Approximation wurden aufgezeigt.
Besonderen Wert wurde auf die eingehenden Materialparameter gelegt.
Die Eigenzustände im Quantum-Well ergeben sich als Lösungen der gekoppelten
Differentialgleichungssysteme. Eine analytische Lösungsmethode wurde in allgemeiner
Form und für ungekoppelte und gekoppelte Valenz- und Leitungsbandmodelle
beschrieben.
Für die Materialsysteme Al x Ga 1−x As–GaAs und Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As
wurden Ergebnisse der Bandstrukturberechnungen – Eigenenergien und -funktionen–
präsentiert. Für diese Simulationen wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Programmpaket
in MATLAB entwickelt.
Bei den Löchern gibt es bei beiden Systemen starke Unterschiede für die drei betrachteten
Modelle, 6×6-Hamiltonian, 4×4-Hamiltonian und ungekoppelte Berechnung.
Die Abweichungen der Ergebnisse des ungekoppelten Modells von den komplexeren
sind sowohl bei Al x Ga 1−x As–GaAs als auch bei Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As
groß. Bei 300 K werden die Löcherdichten bis zu 80% kleiner als bei dem komplexesten
Modell berechnet. Im Gegensatz zu Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As ergeben sich
für Al x Ga 1−x As–GaAs für das Modell mit vier gekoppelten Bändern wesentlich
bessere Ergebnisse.
Für die Berechnung der Löcherladungsdichten in Al x Ga 1−x As–GaAs–Quantum-
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