Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

Anhang
A. Zur Bandstrukturberechnung
A.1. Axiale Approximation: Bei welchem Winkel χ stimmen
die Berechnung ohne und mit axialer Approximation überein?
Die Berechnung mit und ohne axialer Approximation unterscheidet sich nur im
˜R-Term in (4.45) und (4.49). An den Punkten mit dem Winkel χ stimmen die ˜R
überein, und es muß
( ) 2
γ2(k 2 x 2 − ky) 2 2 + 4γ3k 2 xk 2 y 2 γ2 + γ 3
=
(kx 2 + k 2
2
y) 2 . (9.1)
erfüllt sein.
Mit k y = k x tan χ wird daraus :
γ 2 2(1 − tan 2 χ) 2 k 4 x + 4γ 2 3 tan 2 χk 4 x =
γ 2 2(1 − tan 2 χ) 2 + 4γ 2 3 tan 2 χ =
( ) 2 γ2 + γ 3
(1 + tan 2 χ) 2 kx
4 2
( ) 2 γ2 + γ 3
(1 + tan 2 χ) 2 (9.2)
2
(9.3)
Man erhält die biquadratische Gleichung
Als Lösung ergibt sich :
χ = arctan ⎝
tan 4 χ − 2 5γ 2 + 7γ 3
3γ 2 + γ 3
tan 2 χ + 1 = 0 (9.4)
⎛√
5γ 2 + 7γ 3 − 4 √ ⎞
(γ 2 + γ 3 )(γ 2 + 3γ 3 )
⎠ (9.5)
3γ 2 + γ 3
Die Lösung mit dem Plus-Zeichen ist größer als 45 o und entspricht 1 − χ.
Für Al x Ga 1−x As stellt die Abbildung 9.1 die Abhängigkeit des Winkels χ vom
Aluminiumlegierungsanteil x dar. Für einige x sind sie in Tabelle 4.3 aufgelistet.
Die Winkel liegen alle in dem kleinen Bereich von 20, 27 o bis 21, 35 o .
A.2. Analytische Lösungen des 6×6-Hamiltonians im homogenen
Material
A.2.1. Der Wellenvektor k z
Die Parameter der Gleichung zum Ermitteln von k z (5.90) sind
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