Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

4.4. 4-BAND-HAMILTONIAN OHNE SO-BAND 55
R = ¯h2 √ γ 2 + γ 3 3 kρ 2 (4.48)
2m 0 2
( ¯h
2
) ( )
√3 γ2 + γ 3
˜R =
kρ 2 − i2 √ ( ¯h
2
)
3 γ 3 k ρ k z (4.49)
2m 0 2
2m 0
k 2 ρ = k 2 x + k 2 y (4.50)
der Hamiltonian ist radialsymmetrisch in der (k x ,k y )-Ebene und nur doch der Abstand
vom Γ-Punkt k ρ und nicht mehr die Richtung ist entscheidend (siehe Abbildung
4.6a. ).
Die Subbandstruktur in Richtung χ der (k x ,k y )-Ebene stimmt mit der der axialen
Approximation überein (siehe Abbildung 4.6(b) ). Für χ ergibt sich
⎛√
χ = arctan ⎝
5γ 2 + 7γ 3 − 4 √ ⎞
(γ 2 + γ 3 )(γ 2 + 3γ 3 )
⎠ (4.51)
3γ 2 + γ 3
In der Tabelle 4.3 sind für einige Al x Ga 1−x As-Materialien die Winkel angegeben.
Die Herleitung von (4.51) findet sich in Anhang 9.
GaAs Al 0,1 Ga 0,9 As Al 0,2 Ga 0,8 As Al 0,3 Ga 0,7 As AlAs
χ 21, 35 o 21, 31 o 21, 26 o 21, 20 o 20, 27 o
Tabelle 4.3: Der Winkel χ für einige Materialien.
(a)
(b)
Abbildung 4.6: (a) Die Isoenergielinien des erste Löcherbandes eines
Al 0,3 Ga 0,7 As-GaAs-Quantum-Wells der Dicke 10nm in axialer
Approximation. (b) Isoenergielinien des anisotropen Subbandes
mit strichgepunkteten Symmetrielinien im Vergleich mit denen
der axialen Approximation. Die Kurven haben im Winkel χ
einen Schnittpunkt. Die beiden Basisrichtungen < 10 >–k x und
< 01 >–k y sind markiert.
Wie in den Abbildungen 4.6 und 4.7 erkennbar, ist die axiale Approximation eine
Mittelung über die Richtungen in der (k x , k y )-Ebene. Der eingesparte Rechenaufwand
ist groß. Um die anisotropie Subbandstruktur zu erhalten, bedarf es Rechnungen
in etwa 10 bis 50 ”
Stützrichtungen“ φ, so daß mit der axialen Näherung, in der
es nur noch eine Richtung gibt, die Berechnung 10 bis 50mal schneller ausgeführt
werden kann.