Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

64 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW
⎡
M j =
⎢
⎣
N∑
m
N∑
m
N∑
m
N∑
m
F j 11 (⃗ k) . . . F j 1N (⃗ k)
.
.
.. . F j N1 (⃗ k) . . . F j NN (⃗ k)
)
F j m1 (⃗ N∑ (
k) . . . ia j m1 kjN z + 1 2 bj m1
(
ia j m1 kj1 z + 1 2 bj m1
.
.
(
ia j mN kj1 z + 1 2 bj mN
)
F j m1 (⃗ k) . . .
m
. ..
.
.
N∑
m
)
F j mN (⃗ k)
(
)
ia j mN kjN z + 1 2 bj mN
F j mN (⃗ k)
F j−
11 (⃗ k) . . . F j−
1N (⃗ k)
.
.
.
..
.
.
F j−
N1 (⃗ k) . . . F j−
NN (⃗ k)
(
)
−ia j m1 kj1 z + 1 2 bj m1 F j−
m1 (⃗ N∑ (
k) . . . −ia j m1 kjN z + 1 2 bj m1
.
(
−ia j mN kj1 z + 1 2 bj mN
)
F j−
m1 (⃗ k) . . .
m
. .. . .
N∑
m
)
F j−
mN (⃗ k)
(
)
−ia j mN kjN z + 1 2 bj mN
F j−
mN (⃗ k)
⎤
⎥
⎦
(5.12)
können die Bedingungen (5.8) und (5.9) umgeschrieben werden in
M jΦ ⃗ j = M j+1 P j+1Φ ⃗ j+1
(5.13)
Durch Multiplizieren mit der Inversen von M j erhält man die Übertragungsmatrizen
⃗Φ j = M −1
j M j+1 P j+1
⃗ Φ j+1 = T j+1
⃗ Φ
j+1
(5.14)
5.1.2 Verschwinden der Wellenfunktion im Unendlichen
Bei z → ±∞ müssen alle Komponenten der Wellenfunktion Ψ 0 (z) bzw. Ψ 2 (z)
verschwinden. Bei positivem Imaginärteil von kz
0n müssen wegen
lim
z→−∞ eik zz =
lim
z→−∞ ei(k r+k i i)z =
lim
z→−∞ e−k iz · e ikrz = ±∞ (5.15)
die A 0 n = 0 sein, da diese Terme bei z → ∞ nicht exponentiell abklingen. Die
Bne 0 −ik0n z z -Terme verschwinden dagegen bei z → −∞. Synchron müssen Bn 2 = 0
sein für ein Abklingen von Ψ 2 (z) bei z → +∞ gegen Null.
⎡ ⎤
⎡
0
A 2 ⎤
1
.
.
⃗Φ 0 =
0
B1
0 ⃗Φ 2 =
A 2 N 0 (5.16)
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎣ . ⎦
⎣ . ⎦
0
Falls man ein k 0n
z
k 0n
z
B 0 N
mit negativem Imaginärteil erhält, wird das Inverse −kz
0n anstatt
genommen. Somit hat man sich festgelegt, daß alle Terme mit den Linearfaktoren
A 0 n bei z → ∞ exponentiell zunehmen und alle Terme mit den Linearfaktoren
B 0 n bei z → ∞ exponentiell abnehmen. Dies erspart eine unnötige Fallunterscheidung.