Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

66 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW
Da die Bedingung det U a = 0 jedoch nicht völlig erreicht werden kann, wird
U a auch keine exakte singuläre Matrix sein. Da der Vektor der Linearvektoren ⃗ A 2
bis auf eine Konstante festgelegt ist, kann einer der Linearfaktoren gewählt und die
anderen so ermittelt werden, daß der gemachte Fehler so klein wie möglich ist. Setzt
man o.E.d.A. A 2 1 = 1, ist das überbestimmte Gleichungssystem
⎡
⎢
⎣
0
.
.
.
.
0
⎤
⎡
⎥
⎦ = U a ⎢
⎣
1
A 2 2
.
A 2 N
⎤
⎥
⎦
(5.24)
zu lösen. Hierfür eignet sich z.B. die Gauß’sche Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
5.2 Berechnung der Einbandschrödingergleichung
Die Einbandschrödingergleichung im Quantum-Well wird gelöst zur Ermittlung der
Eigenzustände
(a) am Γ-Punkt durch die Entkoppelung der HH- und LH- Bänder für den 4×4-
Hamiltonian (4.46),
(b) am Γ-Punkt durch die Entkoppelung des HH-Bandes für den 6×6-Hamiltonian
(4.53),
(c) für das Leitungsband (4.54) oder (4.57) und
(d) für die ungekoppelten Löcherbandstrukturmodelle (4.60) bis (4.62)
Es wird dieser allgemeine Fall betrachtet, der all diese Gleichungen vereint:
(
¯h 2
¯h 2 ∂ 2
)
2m ∗ ρ(E, z) k2 ρ −
2m ∗ z(E, z) ∂z 2 + V (z) ± ζ(z) + δE hy(z) φ(z) = Eφ(z) (5.25)
Die Richtungs- und Energieabhängigkeit der effektiven Masse tritt nur bei (4.57)
auf. Die Aufspaltung ζ(z) durch die Scherspannung gibt es nur bei den Gleichungen
für die HH- und LH-Bänder. Für die unverspannte Betrachtung ist ζ(z) =
δE hy (z) = 0. Für (a) und (b) vereinfachen sich die Einbandschrödingergleichungen
durch den Wegfall des kρ- 2 Termes. Sowohl richtungs- und energieabhängige Masse,
Verspannungen, als auch kρ-Term 2 können in einer Methode behandelt werden.
Das Potential des Quantum-Wells im Flachbandfall sei
⎧
⎨ V 0 = ∆E C/V : z < 0
V (z) = V 1 = 0 : 0 ≤ z ≤ L
(5.26)
⎩
V 2 = ∆E C/V : L < z
Dies kann man für Elektronen und Löcher ansetzen, wenn man für beide positive
effektive Massen nimmt und die Energiekoordinate für die Löcher umdreht (siehe
auch Abbildung 5.1). Bei der Berechnung wird der Nullpunkt der Energie auf das
Potential des unverspannten (!) Quantum-Wells gesetzt. Aus dem Rechnungskoordinatensystem
kann man Energien Ē in tatsächliche Energien E durch
E(CB) = Ē(CB) + ∆E C (5.27)
E(V B) = ∆E V − Ē(V B) (5.28)