Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

4.4. 4-BAND-HAMILTONIAN OHNE SO-BAND 53
4.4.1 Blockdiagonalform
Durch eine unitäre Transformation nach Broido und Sham [75]
H ′ = UHU ∗
Ψ ′ = UΨ
(4.40)
in ein neues Basissystem der Zonenzentrum-Blochfunktionen kann man die Hamiltonianmatrix
in Blockdiagonalform bringen (die Transformation der Hamiltonianmatrix
verspannter Halbleiter, siehe Abschnitt 4.3, wird in [76] beschrieben) ; dies
durch eine geeignete Wahl der Winkel θ und η in
⎡
U =
⎢
⎣
√
2
2 e−iθ 0 0 − √ 2
2 eiθ
0
0
⎤
√
2
2 e−iη − √ 2
2 eiη 0
√ √
2
2
2 e−iη 2 e−iη 0
√
⎥
2 ⎦
2 eiθ
√
2
2 e−iθ 0 0
Die Matrizen H 4×4 und H ′ 4×4 sind äquivalent, und die beiden Gleichungen
(4.41)
HΨ = EΨ (4.42)
H ′ Ψ ′ = EΨ ′ (4.43)
haben dieselben Eigenwerte. Die transformierte Matrix H ′ 4×4 ist
⎡
H 4×4 ′ = − ⎢
⎣
⎡
= −
⎢
⎣
⎤
H U 0
⎥
⎦ (4.44)
0 H L
⎤
P + Q + ζ ˜R 0 0
˜R ∗ P − Q − ζ 0 0
− δE hy
0 0 P − Q − ζ ˜R
⎥
⎦
0 0 ˜R∗ P + Q + ζ
mit
( ¯h
2
) √3 √
˜R = |R| − i|S| =
γ2 2 2m (k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 − i2 √ ( ¯h
2
)
3 γ 3 k ρ k z
0 2m 0
(4.45)
Die Zweifachentartung der Bänder der leichten und der schweren Löcher bei
Vernachlässigung der zu k linearen Terme wird nun sichtbar.
Wie in einigen Veröffentlichungen falsch beschrieben, ist die axiale Approximation
(siehe 4.4.2) keine Voraussetzung für die Blockdiagonalisierung des 4 × 4-
Luttinger-Kohn-Hamiltonians.
Mit der Diagonalisierung in die beiden Blöcke H U und H L verringert sich der
Rechenaufwand der Eigenwertbestimmung ohne einen Verlust an Genauigkeit. Gerade
für Heterostrukturen, für die der Hamiltonian ein Differentialoperator ist und