Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5
Die analytische Berechnung
der Eigenzustände im
Quantum-Well
Im Quantum-Well wird aus der Matrix H ein Differentialoperator Ĥ und aus dem
Eigenwertproblem ein Differentialgleichungssystem. Chuang [72] stellte einen Algorithmus
vor, der die Energieeigenwerte und die Eigenvektoren, die Einhüllenden der
Wellenfunktionen (EWF), im Quantum-Well mittels Transfermatrizen findet.
In Abschnitt 5.1 wird zuerst die Methode allgemein vorgestellt. Für völlig entkoppelte
Bänder wird die Einbandschrödingergleichung gelöst (siehe 5.2). Durch
Blockdiagonalisierung des 4×4-Hamiltonians der schweren und leichten Löcher (Abschnitt
5.3.1) und am Zonenzentrum für den blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian
(Abschnitt 5.3.3) erhält man Zweibandschrödingergleichungen. Die Anwendung auf
die Dreibandschrödingergleichung des blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian wird
in Abschnitt 5.4 beschrieben.
Das Verfahren ist auch für die großen“ Differentialgleichungssysteme ohne die
”
signifikante Vereinfachung der Blockdiagonalisierung, wie die vollgekoppelten Ĥ4×4,
Ĥ 6×6 oder Ĥ8×8, anwendbar.
5.1 Der Lösungsalgorithmus
Im homogenen Material mit anliegendem Potential V erhält man durch
H( ⃗ k) + (V − E)I N×N = 0 (5.1)
die N Eigenenergien E n ( ⃗ k) und die N Eigenvektoren ⃗ F n ( ⃗ k) mit je N Komponenten
F in ( ⃗ k). Diese können mit Division durch √∑ i |F ni| 2 normiert werden.
Die zugehörigen Wellenfunktionen im homogenen Material sind
Ψ n (⃗r) = ⃗ F n ( ⃗ k) e i⃗ k⃗r =
⎡
⎢
⎣
F 1n ( ⃗ k)
.
.
F Nn ( ⃗ k)
⎤
⎥
⎦ e i(kρρ+kzz) (5.2)
mit den Hüllfunktionen F ⃗ n ( ⃗ k).
Zur kompakteren Schreibweise wurden kρ 2
eingeführt.
= kx 2 + ky 2 und k ρ ρ = k x x + k y y
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