Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 73
5.3.2 HH- und LH-Bänder in axialer Näherung
Einen radialsymmetrischen Hamiltonian erhält man mit der axialen Approximation
(siehe Abschnitt 4.4.2). ˜R ändert sich zu (4.49). Dadurch werden die beiden
Eigenenergien im homogenen Material
√
Ē HH/LH − V h = P ∓ (Q + ζ) 2 + ˜R ˜R ∗ (5.72)
√
= A(kρ 2 + kz) 2 ± B 2 kz 4 + 2D 2 kρk 2 z 2 + C 2 kρ 4 + Bζ(kρ 2 − 2kz) 2 + ζ 2
Es sind hier
Für k z ergibt sich
A = ¯h2 γ 1
C 2 = 1 ¯h 2 (
)
7γ2 2 + 6γ 2 γ 3 + 3γ3
2 2m 0 4 2m 0
(¯h 2 )
γ
( ) (5.73)
2
B = 2
D 2 = 2 ¯h2 3γ3 2 − γ2
2 2m 0 2m 0
{
k z(Ē) 2 = 1
A 2 − B 2 A(Ē − V h) − ( A 2 − D 2) [
kρ 2 − Bζ ± B 2 (Ē − V h) 2
+2A(D 2 − B 2 )kρ(Ē 2 − V h) − ( D 4 − C 2 B 2 + A 2 (B 2 + C 2 − 2D 2 ) ) kρ
4
}
−Bζ[2A(Ē − V h) − (3A 2 − B 2 − 2D 2 )kρ] 2 + A 2 ζ 2] 1/2
(5.74)
5.3.3 Koppelung der LH- und SO-Bänder bei k ρ = 0
Betrachtet man den blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian der HH-, LH- und SO-
Bänder (4.52), entkoppelt das Band der schweren Löcher am Zonenzentrum von
den LH- und SO-Bändern, wie Gleichung (4.53) zeigt. Die LH- und SO-Bänder
bleiben gekoppelt und werden in einer Zweibandschrödingergleichung gelöst, dessen
Hamiltonianmatrix folgende ist:
H U/L =
⎡
⎢
⎣
⎤
√
P − Q − ζ 2(Q + ζ)
√
⎥
⎦ + δE hy (5.75)
2(Q + ζ) P + ∆
Das anliegende Potential sei (5.52). So sind die Eigenenergien im homogenen
Material
E − V h = P − Q 2 + ∆ − ζ
2
mit
= (A + B)k 2 z + ∆ − ζ
2
± 1 √
(
9 Q + ζ
2
√
± 1 2
) 2 ( )
+ 2∆Q + ∆ ∆ + 2ζ
36B 2 k 4 z − 4B
(5.76)
( )
9ζ + ∆ kz 2 + 9ζ 2 + 2ζ∆ + ∆ 2
Mögliche Eigenfunktionen sind
A = ¯h2 γ 1
2m 0
B = ¯h2 γ 2
2m 0
(5.77)