Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

76 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW
entsteht eine bikubische Gleichung, die drei Lösungen für k 2 z besitzt. Diese können
numerisch für eine konkrete Stützstelle (Ē, k x, k y ) bestimmt werden.
Die Wellenfunktionen im homogenen Medium sind
Ψ HH (⃗r) =
Ψ LH (⃗r) =
Ψ SO (⃗r) =
⎡
⎣ F 1HH
F 2HH
F 3HH
⎡
⎣ F 1LH
F 2LH
F 3LH
⎡
⎣ F 1SO
F 2SO
F 3SO
⎤
⎦ e i⃗ k⃗r =
⎤
⎦ e i⃗ k⃗r =
⎤
⎦ e i⃗ k⃗r =
⎡
⎢
⎣
⎡
˜R(|R| + i 1 2 |S|)
(Ē − Vh − P − (Q + ζ))(|R| + i 1 2 |S| )
√
2 ˜R
(
)
2
P + Q + ζ − (Ē − V h)
(Ē − Vh − P + Q + ζ)(
Q + ζ + i √ )
3
2 |S|
˜R
(Q † + ζ + i √ )
3
2 |S|
⎢
⎣ √
2 ˜R
(
)
2
P − (Q + ζ) − (Ē − V h)
⎡ (Ē − Vh − P − ∆)(
Q + ζ − i √ ) ⎤
3
(
2 |S| )
⎢ P + ∆ − (Ē ⎣
− V h)
)(|R| − i 1 2
√ |S| ⎥
)(
2
(|R| − i 1 2 |S| Q + ζ − i √ )
3
2 |S|
⎤
⎥
⎦ ei⃗ k⃗r
⎤
⎥
⎦ ei⃗ k⃗r
⎦ ei⃗ k⃗r
(5.91)
Die Wellenfunktionen im Quantum-Well werden als Linearkombinationen der
Bulk-Wellenfunktionen analog zu (5.5) angesetzt
⎡
Ψ j (z) = A j ⎣
HH
F j 1HH
F j 2HH
⎤
⎦ e ikj,HH z (z−d j ) + A j LH
⎡
⎣
F j 1LH
F j 2LH
⎤
⎦ e ikj,LH z (z−d j )
⎡
+ A j ⎣
SO
⎡
+ B j ⎣
LH
F j 3HH
F j 1SO
F j 2SO
F j 3SO
F j−
1LH
F j−
2LH
F j−
3LH
⎤
⎦ e ikj,SO z (z−d j ) + B j HH
⎤
⎦ e −ikj,LH z
⎡
⎣
(z−d j ) + B j ⎣
SO
F j 3LH
F j−
1HH
F j−
2HH
F j−
⎡
3HH
F j−
1SO
F j−
2SO
F j−
3SO
⎤
⎦ e −ikj,HH z (z−d j ) (5.92)
⎤
⎦ e −ikj,SO z (z−d j )
(5.93)
mit
Die k 2 z- und k z -Terme in (5.87) sind
a =
⎡
⎣ u 0 0
0 w x
0 x y
⎤
⎡
⎦ b = ⎣
√
0 −2v
√ 2v
2v 0 6v
− √ 2v − √ 6v 0
⎤
⎦ (5.94)
u = ¯h2
2m (γ 1 − 2γ 2 )
x = −2 √ 2 ¯h2
2m γ 2
v = √ 3 ¯h2
2m γ 3k ρ
y = ¯h2
2m γ 1
An den Bereichsgrenzen des Quantum-Wells müssen
w = ¯h2
2m (γ 1 + 2γ 2 )
(5.95)
Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.96)