Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

52 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN
350
300
Spannung T in MPa, damit ε xx
=ε yy
=0
250
200
150
100
Kompression
50
Dehnung
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Legierungsanteil Aluminium x
Abbildung 4.4: Äußere uniaxiale Spannung T , die nötig ist, um Verspannung in
der QW-Ebene aufzuheben.
Wie man die Lösungen des Eigenwertproblems ĤSu n ⃗ k
(⃗r) = E n ⃗ k
(⃗r) findet, wird
in Abschnitt 4.5 diskutiert. Einfacher ist das Problem unter Vernachlässigung des
SO-Bandes, das im folgenden Abschnitt 4.4 beschrieben wird.
Für Heterostrukturen wird aus dem Eigenwertproblem ein Differentialgleichungssystem,
dessen Lösung für beide Probleme sowie der Schrödingergleichung der Elektronen
in Kapitel 5 behandelt wird.
4.4 4-Band-Hamiltonian mit Vernachlässigung des
SO-Bandes
Bei den meisten kubischen Halbleitern liegt das Spin-Orbit-Split-Off-Band relativ
weit unterhalb der am Γ-Punkt vierfach entarteten Bänder der schweren und
leichten Löcher. So ist für GaAs ∆ = 0, 34 eV . Zum Vergleich ist die Tiefe des
Löcherquantentopfes ∆E C des Al 0,1 Ga 0,9 As − GaAs-Quantum-Wells 0, 083 eV und
des Al 0,3 Ga 0,7 As − GaAs-Quantum-Wells 0, 249 eV ; die Subbandenergien liegen
in dieser Grössenordnung. Somit ist eine Rechnung mit Vernachlässigung des SO-
Bandes begründbar.
Die die Wechselwirkung der schweren und leichten Löcher beschreibende 4×4-
Luttinger-Kohn-Hamiltonianmatrix [28] ist:
⎡
H 4×4 = −
⎢
⎣
P + Q + ζ −S R 0
−S ∗ P − Q − ζ 0 R
R ∗ 0 P − Q − ζ S
0 R ∗ S ∗ P + Q + ζ
⎤
− δE hy (4.39)
⎥
⎦
in der Basis |u 1 〉 . . . |u 1 〉 (siehe 3.41).
Dabei haben P , Q, R und S die Bedeutung, wie in (4.27) beschrieben.