Zusammenfassung - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

5 Merkmalsgewinnung
sein, das heißt, es muss gelten k1 < k2 < ... < kn. Die Werte ki werden als Stützstellen der
Interpolationsfunktion f bezeichnet. Im Falle der Bewegungssignale eines Schreibvorgangs
erfolgt die Bestimmung der Funktion f separat für die horizontale und für die vertikale Stiftbewegung
in zwei getrennten Verarbeitungsschritten. Für die Interpolation der horizontalen
Stiftbewegung möge gelten fx(ki) = xi und für die vertikale Stiftbewegung gelte fy(ki) = yi.
Der Parameter ki muss für eine äquidistante Neuabtastung wie folgt gewählt werden:
�
0 falls i = 1,
ki =
(5.8)
ki−1 + �pi − pi−1�2 sonst.
Der Term �pi − pi−1�2 stehe dabei für den euklidischen Abstand zwischen (xi,yi) und
(xi−1,yi−1), sodass ki der Bogenlänge zwischen dem ersten und dem k-ten Abtastpunkt entspricht.
Bei Verwendung der kubischen Splineinterpolation für n Punkte ist die Funktion f stückweise
zusammengesetzt aus n − 1 Teilpolynomen f1, bis fn−1 dritten Grades. In Abbildung
5.4 ist die kubische Splineinterpolation für fünf Punkte beispielhaft dargestellt.
mit
⎧
⎪⎨
f (k) =
⎪⎩
f1(k) falls k1 ≤ k < k2,
f2(k) falls k2 ≤ k < k3,
.
fn−1(k) falls kn−1 ≤ k ≤ kn.
Diese Teilpolynome dritten Grades haben folgende Form:
fi(k) = αi · (k − ki) 3 + βi · (k − ki) 2 + γi · (k − ki) + δi
(5.9)
(5.10)
αi,βi,γi,δi ∈ R, 1 ≤ i < n (5.11)
Damit die Funktion f an den inneren Stützstellen k2 bis kn−1, auch als Nahtstellen bezeichnet,
stetig ist, muss gelten:
fi−1(ki) = fi(ki) für 1 < i < n (5.12)
Um darüber hinaus an den inneren Stützstellen möglichst glatte Übergänge der Teilfunktionen
von f zu erreichen, muss weiterhin gelten:
f ′
i−1(ki) = f ′
i (ki) sowie f ′′
i−1(ki) = f ′′
i (ki) für 1 < i < n (5.13)
f ′
i (k) = 3 · αi · (k − ki) 2 + 2 · βi · (k − ki) + γi (5.14)
f ′′
i (k) = 6 · αi · (k − ki) + 2 · βi (5.15)
Die erste Ableitung f ′ entspricht dem Anstieg, die zweite Ableitung f ′′ der Krümmung
der Funktion f . Durch diese Gleichsetzung der ersten und zweiten Ableitungen benachbarter
Teilfunktionen an den inneren Stützstellen, wird der oben geforderte glatte Übergang gewährleistet.
Für die Ränder von f , also f1(k1) und fn−1(kn) wird in der Praxis oft vereinfachend
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