Zusammenfassung - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

y
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
5.1 Datenvorverarbeitung
sampling points
linear interpolation
polynomial interpolation
piecewise cubic
spline interpolation
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
Abbildung 5.4: Vergleich von linearer (gestrichelte Kurve) und polynomieller (gepunktete
Kurve) Interpolation sowie stückweiser kubischer Splineinterpolation (durchgezogene
Kurve) am Beispiel von fünf Abtastpunkten
angenommen, es gelte f ′′
1 (k1) = f ′′
n−1 (kn) = 0. In diesem Fall spricht man von einem natürlichen
kubischen Spline [Boo78].
Die Neuabtastung der Stiftbewegung erfolgt, indem die Parameter (αi, βi, γi, δi mit 1 ≤ i <
n) der Funktion f aus Gleichung 5.9 separat für die horizontale und die vertikale Bewegung
bestimmt werden. Anschließend ist eine Sequenz von ¯n Werten k ′ 1 bis k′ ¯n mit w = k ′ i − k′ i−1
(1 < i ≤ ¯n) zu bestimmen, für die f berechnet wird. Aus der Sequenz P der n ursprünglichen
Abtastpunkte p1 bis pn wird hierdurch die Sequenz ¯P der ¯n neuabgetasteten Punkte p1 ¯ bis
¯p ¯n. Der Wert w ist hierbei (das heißt im Falle der äquidistanten Neuabtastung) der paarweise
Abstand der neuabgetasteten Punkte.
resamplingw : P n → P ¯n
(5.16)
Alternativ zur beschriebenen Neuabtastung der Schreibsignale mittels stückweiser kubischer
Splineinterpolation wäre beispielsweise auch die Verwendung der Polynominterpolation
oder die stückweise lineare Interpolation denkbar. Für eine Polynominterpolation von n
Stützstellen wird ein Polynom vom Grad n − 1 verwendet. Es es implizit garantiert, dass die
dadurch entstehende Kurve stetig und mehrfach differenzierbar ist, also einen glatten Verlauf
besitzt. Jedoch haben Polynome mit hohem Grad die Tendenz, stark zu schwingen 6 , wie dies
6 Das Verhalten der starken Schwingung von Polynomen hohen Grades wird als Runges Phänomen bezeichnet;
nach Carl David Tolmé Runge, der 1901 das Verhalten von Fehlern bei der Polynominterpolation untersuchte
[Run01].
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