Zusammenfassung - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

6.1 Ähnlichkeiten von Zeichenketten
benötigten Operationen zur Überführung von r in s ist, umso ähnlicher sind die Zeichenketten
r und s einander.
Laut [Kru99] wurden Algorithmen zur Bestimmung des klassischen Editierabstandes nach
V. I. Levenshtein [Lev66] von verschiedenen Autoren in kurzer Folge unabhängig voneinander
publiziert, beispielsweise in [Vin68, WF74, Hir75]. Statt Editierabstand findet sich in der
Literatur häufig auch die Bezeichnung Levenshtein-Abstand. Da für die Bestimmung des Editierabstandes
zumeist auf Wagner und Fisher [WF74] verwiesen wird, soll deren Verfahren
der dynamischen Programmierung hier kurz skizziert werden. Das Verfahren beruht darauf,
eine Matrix D, die so genannte Distanzmatrix, der Größe (m + 1) × (n + 1) zu bestimmen,
wie dies in den Gleichungen 6.2 bis 6.4 beschrieben ist. Es seien m = |r| die Länge der Zeichenkette
r und n = |s| die Länge der Zeichenkette s.
D0,0 = 0 (6.2)
Di,0 = i (6.3)
D0, j = j
⎧
⎨ Di−1, j−1 +
⎫
d(i, j), ⎬
(6.4)
mit
Di, j
d(i, j)
=
=
min Di−1, j +
⎩
Di, j−1 +
�
1 falls ri �= s j
0 sonst
1,
1
⎭
(6.5)
(6.6)
Hierbei ist ri das i-te Zeichen der Zeichenkette r und s j das j-te Zeichen von s; ri und s j
sind Elemente eines endlichen Alphabetes A, so dass gilt r,s ∈ A ∗ .
Das Element der Distanzmatrix D an der Stelle (i, j) mit 0 < i ≤ m und 0 < j ≤ n enthält
genau den Editierabstand zwischen den Teilzeichenketten r1...i und s1... j. Hierbei gelte:
r1...i = r1r2r3 ...ri und s1... j = s1s2s3 ...sj (6.7)
Daraus folgt, dass der Editierabstand zweier Zeichenketten r und s genau dem Wert Dm,n der
oben bestimmten Distanzmatrix D entspricht. Um diesen Wert Dm,n zu bestimmen, müssen
alle (m + 1) × (n + 1) Elemente der Matrix D bestimmt werden, sodass sich eine Berechnungskomplexität
von O(m · n) ergibt.
Es lässt sich zeigen, dass der Editierabstand zweier Zeichenketten r und s stets im ganzzahligen
Intervall [0,max{m,n}] liegt, mit m = |r| und n = |s|. Die untere Intervallschranke 0
bezeichnet trivial die Äquivalenz von r und s:
r = s ⇐⇒ (m = |r| = |s|) ∧ ∀i ∈ [1,m], (ri = si) (6.8)
Die obere Intervallschranke max{m,n} betrifft den Fall, dass r und s an jeder Position verschieden
sind, also höchstens min{m,n} Ersetzungsoperationen sowie zusätzlich höchstens
|m − n| Einfüge- beziehungsweise Löschoperationen nötig sind, um r in s zu überführen.
Mit dieser Angabe des maximal möglichen Editierabstandes zweier Zeichenketten r und s
lässt sich entsprechend der Gleichung 6.1 die Ähnlichkeit similarityedit(·,·) beschreiben:
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