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78 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
(b) Existe un epimorfismo P : u ɛ (g) ∗ → O ɛ (L) Q(ɛ)
de álgebras de Hopf que hace que el siguiente
diagrama conmute:
1 ι
O(G) Q(ɛ)
π
O ɛ (G) Q(ɛ)
u ɛ (g) ∗
res
1 O(L) Q(ɛ)
ι L
O ɛ (L) Q(ɛ)
π L
O ɛ (L) Q(ɛ)
1.
Res
P
1
(5.8)
(c) O ɛ (L) Q(ɛ)
≃ u ɛ (l) ∗ como álgebras de Hopf. En particular, dim O ɛ (L) Q(ɛ)
= rg O(L)Q(ɛ)
O ɛ (L) Q(ɛ)
es finita.
Demostración. (a) Necesitamos mostrar solamente que O(L) Q(ɛ) =
co π LO ɛ (L) Q(ɛ) . Veamos,
el álgebra O ɛ (G) Q(ɛ) es noetheriana, pues contiene a O(G) Q(ɛ) que es noetheriana. Esto último
se deduce del teorema de la base de Hilbert, pues O(G) Q(ɛ) es un álgebra conmutativa finitamente
generada. En ese caso, O ɛ (L) Q(ɛ) también es noetheriana, por ser un cociente de O ɛ (G) Q(ɛ) . Entonces
por [Sch1, Thm.3.3], O ɛ (L) Q(ɛ) es fielmente playo sobre O(L) Q(ɛ) y, por la Proposición 2.1.6 tenemos
que O(L) Q(ɛ) = co π LO ɛ (L) Q(ɛ) = O ɛ (L) co π L
Q(ɛ)
, que es lo que se quería probar.
(b) Puesto que la sucesión (5.3) es exacta, tenemos que Ker π = O(G) + Q(ɛ) O ɛ(G) Q(ɛ) y u ɛ (g) ∗ ≃
O ɛ (G) Q(ɛ) /[O(G) + Q(ɛ) O ɛ(G) Q(ɛ) ]. Pero entonces, π L Res(Ker π) = π L (O(L) + Q(ɛ) O ɛ(L) Q(ɛ) ) = 0, lo cual
implica que existe un morfismo de álgebras de Hopf P : u ɛ (g) ∗ → O ɛ (L) Q(ɛ)
que hace que el diagrama
conmute.
(c) Dualizando el diagrama (5.5) obtenemos el diagrama conmutativo
U(g) ◦ Q(ɛ)
t Fr Γ ɛ (g) ◦ ρ
u ɛ (g) ∗
(5.9)
U(l) ◦ Q(ɛ)
t Fr
Res
Γ ɛ (l) ◦ f
s
u ɛ (l) ∗ .
Como O ɛ (L) Q(ɛ) = Res(O ɛ (G) Q(ɛ) ), O(L) Q(ɛ) = Res(O(G) Q(ɛ) ) y O(G) Q(ɛ) ≃ U(g) ◦ Q(ɛ)
, pues g es
simple, se sigue que O(L) Q(ɛ) ⊆
t Fr(U(l) ◦ Q(ɛ) ); en particular, O(L)+ Q(ɛ)
⊆ Ker f. Más aún, puesto
que ρ(O ɛ (G) Q(ɛ) ) = π(O ɛ (G) Q(ɛ) ) = u ɛ (g) ∗ , tenemos que u ɛ (l) ∗ = s(u ɛ (g) ∗ ) = f Res(O ɛ (G) Q(ɛ) ) =
f(O ɛ (L) Q(ɛ) ). Por lo tanto, existe un epimorfismo de álgebras de Hopf β : O ɛ (L) Q(ɛ)
→ u ɛ (l) ∗ y
tenemos que dim O ɛ (L) Q(ɛ)
≥ dim u ɛ (l) ∗ .
En lo que sigue, mostraremos que existe un epimorfismo u ɛ (l) ∗ → O ɛ (L) Q(ɛ)
, hecho del cual se
deduce que ambos objetos tienen la misma dimensión y por ende la aplicación β es un isomorfismo.
Consideremos el morfismo de álgebras de Hopf s : u ɛ (g) ∗ → u ɛ (l) ∗ y sea a ∈ Ker s. Veremos que
a ∈ Ker P .
Al ser u ɛ (g) de dimensión finita, se tiene que las funciones coordenadas de la representación regular
de u ɛ (g) generan linealmente u ɛ (g) ∗ . En efecto, sea a ∈ u ɛ (g) ∗ y fijemos una base {1, v 2 , . . . , v s }
de u ɛ (g) con base dual {δ 1 , . . . , δ s }. Entonces para todo v ∈ u ɛ (g) tenemos que
s∑
s∑
s∑
s∑
a(v) = a(v i )δ i (v) = a(v i )δ i (v · 1) = a(v i ) < t i 1, v >= 〈 a(v i )t i 1, v〉.
i=1
i=1
i=1
i=1