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3.2. ÁLGEBRAS DE HOPF CUASITRIANGULARES DE DIMENSIÓN P 3 35
5.5], B sería isomorfa a un álgebra de grupo, lo cual es imposible, ya que éstas no contienen a
ninguna subcoálgebra de dimensión mayor a 1. Entonces necesariamente B = H, pues por los
mismos resultados anteriores, las únicas álgebras de Hopf no semisimples cuyas dimensiones son
una potencia de p con exponente menor a 3 son las álgebras de Taft, las cuales son punteadas. Por
lo tanto, H está generada como álgebra por una coálgebra simple de dimensión 4 que es estable por
la antípoda. Por [Na2, Prop. 1.3], H encaja en una sucesión exacta
1 → k G → H → A → 1,
donde G es un grupo finito y A ∗ es un álgebra de Hopf punteada no semisimple.
Por el Teorema 1.1.23, sabemos que |G(H)| divide a p 3 . Como H es no semisimple y no punteada,
por el Teorema 3.1.6 se sigue que |G(H)| = 1 o |G(H)| = p, puesto que si |G(H)| = p 2 o p 3 ,
tendríamos que H es semisimple o punteada. Si |G(H)| = 1, entonces H = A y por lo tanto H ∗ es
punteada. Si |G(H)| = p, entonces por el Teorema 2.2.1, H es punteada, lo cual es imposible por
hipótesis. Más aún, si H ∗ es punteada y de tipo (p; p), entonces H ∗ es isomorfa a un álgebra libro
h(q, m), para ciertos q ∈ G p {1}, m ∈ Z/(p) {0}. Por lo tanto, H también es punteada y no
puede contener una subcoálgebra simple de dimensión 4.
3.2. Álgebras de Hopf cuasitriangulares de dimensión p 3
Sea H un álgebra de Hopf de dimensión finita y sea R ∈ H ⊗ H. Como es usual, usamos la
notación simbólica para R = R (1) ⊗ R (2) . Se define la aplicación lineal f R : H ∗ → H por
f R (β) =< β, R (1) > R (2) para todo β ∈ H ∗ .
Definición 3.2.1. [Dr] El par (H, R) se dice un álgebra de Hopf cuasitriangular si se satisfacen
los siguientes axiomas:
(QT.1) ∆ cop (h)R = R∆(h) para todo h ∈ H,
(QT.2) (∆ ⊗ id)(R) = R 13 R 23 ,
(QT.3) (ε ⊗ id)(R) = 1,
(QT.4) (id ⊗∆)(R) = R 13 R 12 ,
(QT.5) (id ⊗ε)(R) = 1;
o equivalentemente si f R : H ∗cop → H es un morfismo de biálgebras y se satisface (QT.1). Aquí usamos
R 12 para denotar al elemento R⊗1 ∈ H ⊗3 ; de manera análoga escribimos R 13 y R 23 . Notar que
(H cop , R 21 ) y (H op , R 21 ) también son cuasitriangulares, donde R 21 := R (2) ⊗ R (1) . Nos referiremos
a un par (H, R) que satisface los cinco axiomas anteriores como un álgebra de Hopf cuasitriangular
o simplemente diciendo que H admite una estructura cuasitriangular. Ver por ejemplo [R2].
Un morfismo f : (H, R) → (H ′ , R ′ ) de álgebras de Hopf cuasitriangulares es un morfismo de
álgebras de Hopf f : H → H ′ tal que R ′ = (f ⊗ f)(R). Si ˜R = R21 , se tiene otro morfismo de
álgebras de Hopf f ˜R
: H ∗ → H op por
f ˜R(β) =< β, R (2) > R (1) para todo β ∈ H ∗ .