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18 CAPÍTULO 2. EXTENSIONES DE ÁLGEBRAS DE HOPF extensiones centrales. 1 B ι A π H 1. p K L r Haremos esto en dos pasos. En el primero comenzamos con los datos asociados al epimorfismo p : B → K: sea J = Ker p y (J ) = AJ . Por la Proposición 2.3.1, (J ) es un ideal de Hopf de A y el álgebra de Hopf A p = A/(J ) está dada por un pushout y encaja en el siguiente diagrama conmutativo, cuyas filas son sucesiones exactas de álgebras de Hopf y B y K son centrales en A y A p respectivamente. 1 B ι A π H 1 (2.5) p 1 K j A p π p H 1. A partir de aquí suponemos que K y H son de dimensión finita. Entonces dim A p también es finita por el siguiente lema. Lema 2.3.3. Sean K y H dos álgebras de Hopf de dimensión finita y supongamos que encajan en una sucesión exacta de álgebras de Hopf 1 → K → A → H → 1, tal que K es central en A. Entonces A también es de dimensión finita. Demostración. Como K es conmutativa y de dimensión finita, es semisimple. Luego, todo K- módulo es proyectivo; en particular, A es proyectivo. Si A es de dimensión infinita, por [Sch1, Thm. 2.4], A es un K-módulo libre y A ≃ K (I) para cierto conjunto de índices I. Pero entonces H ≃ A/K + A ≃ A⊗ K (K/K + ) ≃ K (I) ⊗ K (K/K + ) ≃ (K/K + ) (I) por ser A playa sobre K. Luego el cardinal de I, y a fortiori dim A deben ser números finitos, lo cual nos lleva a una contradicción. Observación 2.3.4. Sean H y K dos álgebras de Hopf de dimensión finita. Parece ser todavía un problema abierto determinar cuándo un álgebra de Hopf A que es una extensión de K por H, en el sentido de la Definición 2.1.1, es de dimensión finita. Si S es un subconjunto de A p , denotamos por (S) = A p SA p al ideal bilátero de A p generado por S. Veamos ahora cómo el epimorfismo r : H → L entra en escena. Sea M r = q(Ker rπ) = Ker rπ p . Por el Lema 2.3.3 y el Teorema 2.1.4, la H-extensión A p de K dada por la sucesión exacta q 1 → K −→ ι π p A p −→ H → 1 (2.6) es hendida. Por lo tanto, por la Definición 2.1.3, existen una retracción ξ : A p → K en Reg ε (A p , K) y una sección γ : H → A p en Reg 1 (H, A p ). Sea I r,ξ el menor ideal de Hopf de A p que contiene al conjunto (id −jξ)(M r ) = {x − jξ(x)| x ∈ M r }. (2.7)
2.3. EXTENSIONES CENTRALES DE ÁLGEBRAS DE HOPF 19 Notar que I r,ξ ⊆ M r y π p (I r,ξ ) = π p (M r ). Proposición 2.3.5. En la situación anterior, I r,ξ := I r,ξ ∩ K es un ideal de Hopf de K y A p,r,ξ := A p /I r,ξ encaja en una sucesión exacta de álgebras de Hopf de dimensión finita donde K r,ξ = K/I r,ξ es central en A p,r,ξ . j ξ π ξ 1 → K r,ξ −→ A p,r,ξ −→ L → 1, (2.8) Demostración. Por la Proposición 2.3.2, la sucesión exacta (2.6) induce una sucesión exacta de álgebras de Hopf de dimensión finita 1 → K r,ξ −→ A p,r,ξ −→ H/π p (I r,ξ ) → 1, donde K r,ξ es central en A p,r,ξ . Como M r = Ker(rπ p ) y π p es sobreyectiva, se sigue que π p (M r ) = Ker r. Entonces L ≃ H/ Ker r = H/π p (M r ) = H/π p (I r,ξ ) y se obtiene la sucesión (2.8). Después de estos dos pasos, se obtiene un álgebra de Hopf de dimensión finita A p,r,ξ asociada a los epimorfismos p : B → K y r : H → L, y a la retracción ξ : A p → K, esto es, a una terna (p, r, ξ), que encaja en el siguiente diagrama conmutativo 1 ι B p 1 K p ξ j ξ A q π H 1 A p π p H 1 1 K r,ξ j ξ A p,r,ξ π ξ L 1. q ξ γ r (2.9) Por la Proposición 2.1.4, sabemos que la extensión dada por la sucesión (2.8) es hendida, con alguna sección ¯γ y alguna retracción ¯ξ. La siguiente proposición nos muestra como elegir ¯γ y ¯ξ relacionadas con las aplicaciones que vienen dadas por la extensión hendida A p de (2.6). Proposición 2.3.6. Si la extensión A p dada por la sucesión exacta (2.6) es hendida vía γ : H → A p , entonces la extensión A p,r,ξ dada por (2.8) es hendida vía ¯γ : L → A p,r,ξ , donde ¯γ(r(h)) = q ξ γ(h). Demostración. Primero debemos probar que la sección ¯γ está bien definida. Sean h, h ′ ∈ H tales que r(h) = r(h ′ ), entonces h−h ′ ∈ Ker r. Basta ver que γ(Ker r) ⊆ Ker q ξ , pues esto implicaría que γ(h − h ′ ) ∈ Ker q ξ y por lo tanto ¯γ(r(h)) = q ξ (γ(h)) = q ξ (γ(h ′ )) = ¯γ(r(h ′ )). Sean t ∈ Ker r y m ∈ M r = Ker(rπ p ) tales que π p (m) = t. Como m ∈ M r , se tiene que q ξ (m) = p ξ ξ(m) y por la Definición 2.1.3 (ii), m = ξ(m (1) )γ(π p (m (2) )). Entonces p ξ ξ(m) = q ξ (m) = q ξ (ξ(m (1) ))q ξ (γ(π p (m (2) ))), lo cual implica que p ξ ξ(m) = (p ξ ξ ∗ q ξ γπ p )(m). Como ξ es inversible con respecto a la convolución y p ξ : K → K r,ξ es un morfismo de álgebras de Hopf, se sigue que p ξ ξ también es inversible con respecto a la convolución y por lo tanto 0 = ε(m) = q ξ γπ p (m) = q ξ γ(t).
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Bibliografía [A1] [A2] N. Andruski
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BIBLIOGRAFÍA 109 [H1] G. Hochschil
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BIBLIOGRAFÍA 111 [R3] D. Radford,
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central, 11 cleft, 52 del álgebra
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