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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 65
El problema resulta más complejo si el grupo de Lie simple es excepcional. Varios autores han
estudiado inclusiones de grupos finitos simples o extensiones centrales de grupos finitos simples en
los grupos de Lie excepcionales, ver por ejemplo [CW], [GR].
Para ilustrar lo dicho anteriormente, mostramos en lo que sigue algunos resultados de Serre y
de Pianzola y Weiss.
Teorema 4.2.26. [S, Thm. 1] Sea G un grupo algebraico lineal conexo y simple sobre un cuerpo
algebraicamente cerrado k. Sean h su número de Coxeter y p un número primo.
(a) Si p = h + 1, el grupo G(k) contiene un subgrupo isomorfo a P GL 2 (F p ), salvo que car k = 2
y G ≃ P GL 2 .
(b) Si p = 2h + 1, G(k) contiene un subgrupo isomorfo a P SL 2 (F p ).
Los siguientes resultados establecen cuándo un grupo de Lie simple G contiene un elemento de
orden p. En particular, usando el Teorema 4.2.4 obtenemos álgebras de Hopf de dimensión p · l dim g .
Proposición 4.2.27. [S, Prop. 4] Supongamos que G(k) es simple y sea h el número de Coxeter
asociado a G. Si p = mh + 1, con m ≥ 1, entonces G contiene un elemento regular de orden p.
Sea G un grupo de Lie compacto, conexo y simple. Si x ∈ G es un elemento de orden N, entonces
los valores de los caracteres tr V (ρ(x)), para toda representación (ρ, V ) de dimensión finita de G,
generan un cuerpo A(x) sobre Q. Este cuerpo A(x) es un subcuerpo del cuerpo ciclotómico Q(ξ),
donde ξ = e 2πi/N . El grado de la extensión Q(ξ)/A(x) se denomina la profundidad de x.
Teorema 4.2.28. [PW, Thm. 3] Sea p un número primo que no divide a |W | y sea d un número
entero positivo. Entonces G tiene un elemento de orden p y profundidad d si y sólo si se cumple las
siguientes condiciones:
(a) d divide a p − 1.
(b) d divide a m + 1 para algún exponente m de W .
(c) Si d es impar entonces G es, o bien de tipo A n , o de tipo E 6 , o de tipo D n , con n un múltiplo
impar de d.
4.2.4. Clases de casi-isomorfismos
En 1975 I. Kaplansky conjeturó lo siguiente:
Conjetura 2. Las álgebras de Hopf de una dimensión dada son finitas salvo isomorfismos, si el
cuerpo k es algebraicamente cerrado y su característica no divide a dicha dimensión.
Varios autores han encontrado contraejemplos a esta conjetura, entre ellos E. Müller. Claramente,
las familias de álgebras de Hopf A σj encontradas anteriormente a través de una generalización
de los resultados de E. Müller, son un nuevo contraejemplo de esta conjetura.
Sin embargo, en 2001 A. Masuoka [Mk5] demostró que todas las familias de álgebras de Hopf
encontradas hasta ese momento consistían en una cantidad finita de álgebras de Hopf salvo casiisomorfismos,
es decir, salvo deformación por cociclos. Por tal motivo, propuso la siguiente variante
a la conjetura de Kaplansky: