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2.3. EXTENSIONES CENTRALES DE ÁLGEBRAS DE HOPF 23
Por lo tanto, para probar que ξ es una sección se tiene que ver que ξ es inversible con respecto
a la convolución. Como A p admite una descomposición A p = KF ⊕ D, donde D es un coideal y un
K-módulo, basta definir la inversa para ξ en KF . Definimos entonces ξ −1 | KF = ˆβ −1 , donde ˆβ −1 es
el morfismo k-lineal dado por ˆβ −1 (ae) = S(a)β −1 (e) para todo a ∈ K y e ∈ {e i } 1≤i≤m . Entonces
para todo a ∈ K y e ∈ {e i } 1≤i≤m se tiene
ˆβ ∗ ˆβ −1 (ae) = ˆβ(a (1) e) ˆβ −1 (a (2) e) = a (1) β(e)S(a (2) )β −1 (e) = ε(ae).
Análogamente ˆβ −1 ∗ ˆβ = ε1, lo cual implica que ˆβ ∈ Reg(A p , K) es un morfismo de K-módulos.
2.3.3. Sobre los isomorfismos de las extensiones obtenidas
En esta subsección estudiamos algunas propiedades de las extensiones construidas en la Subsección
2.3.2 que serán de utilidad en la Sección 4.2. Definimos primero el centro de Hopf de un álgebra
de Hopf, que siempre existe por [A1, Cor. 2.2.2]
Definición 2.3.11. [A1, Def. 2.2.3] El centro de Hopf de un álgebra de Hopf A es la subálgebra
central maximal de Hopf Z(A) de A.
Proposición 2.3.12. Para i = 1, 2, sea 1 → K i → A i → L i → 1 una sucesión exacta de
álgebras de Hopf tal que K i = Z(A i ) y L i = A i /(K + i A i). Supongamos que ω : A 1 → A 2 es un
isomorfismo de álgebras de Hopf. Entonces existen isomorfismos ω : K 1 → K 2 y ω : L 1 → L 2 tales
que el siguiente diagrama conmuta
ι
1 1 π
K 1
1
A 1
ω
ω
L 1
1 K 2
ι 2 A 2
π 2 L 2
1.
Demostración. Como K 1 = Z(A 1 ) y ω es sobreyectiva, ω(K 1 ) es una subálgebra de Hopf central
de A 2 . Entonces ω(K 1 ) ⊆ Z(A 2 ) = K 2 . Análogamente ω −1 (K 2 ) ⊆ K 1 y por lo tanto ω(K 1 ) =
K 2 . Por consiguiente, el morfismo de álgebras de Hopf ω : K 1 → K 2 dado por ω = ω| K1 es un
isomorfismo. Como L i = A/K
i + A i para 1 ≤ i ≤ 2 y ω(K 1 ) = K 2 , ω induce un isomorfismo de
álgebras de Hopf ω : L 1 → L 2 dado por la fórmula ω(π 1 (a)) = π 2 (ω(a)) para todo a ∈ A. En efecto,
si ω(π 1 (a)) = 0, entonces ω(a) ∈ K 2 + A 2 = Ker π 2 . Pero como K 2 + A 2 = ω(K 1 ) + ω(A 1 ) = ω(K 1 + A 1),
existe b ∈ K 1 + A 1 tal que ω(a) = ω(b). Al ser ω inyectiva, se sigue que a = b ∈ K 1 + A 1 = Ker π 1 y por
lo tanto ω es inyectiva. La sobreyectividad de ω se sigue de la sobreyectividad de ω. Finalmente, el
diagrama es conmutativo por la definición de ω y ω.
Aquí probamos una condición que implica la hipótesis de la Proposición 2.3.12.
Lema 2.3.13. [A1, 3.3.9] Consideremos la sucesión exacta de álgebras de Hopf de dimensión
finita 1 → K ι −→ A π −→ L → 1, con K central en A. Si Z(L) = k, entonces Z(A) = K.
Demostración. Como K es central en A, se tiene que K ⊆ Z(A). Al ser π sobreyectiva, π(Z(A))
es central en L y por ende está contenida en Z(L) = k. Luego, π| Z(A) = ε| Z(A) , lo cual implica que
Z(A) ⊆ co π A = K.
ω
1