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APÉNDICE 99
Tabla A.4: Subálgebras maximales no regulares no simples de álgebras de Lie simples clásicas
g dim g m dim m dim g − rg g
sl N N 2 − 1 sl s × sl t s 2 − 1 + t 2 − 1 N 2 − N
st = N, 2 ≤ s ≤ t
sp N
sp s × so t
N(N+1)
N ≥ 6
2
s par, st = N
par s ≥ 2, t ≥ 3, t ≠ 4; o s = 2, t = 4
so N sp s × sp t
s(s+1)
N(N−1)
N ≥ 6
2
s, t pares st = N, 2 ≤ s ≤ t
so s × so t
st = N, 3 ≤ s ≤ t, s, t ≠ 4
s(s+1)
2
+ t(t−1)
2
2
+ t(t+1)
s(s−1)
2
+ t(t−1)
N 2
2
2
N par:
N(N−2)
2
2
N impar:
(N−1)(N−1)
2
Demostración. Como st = N y 2 ≤ s ≤ t, se sigue que s ≤ N/2 y t ≤ N/2. Entonces
s 2 − 1 + t 2 − 1 ≤ N 2
4 − 1 + N 2
4 − 1 ≤ N 2
2 − 2 = N 2 − 4
2
=
(N + 2)(N − 2)
2
< N(N − 1),
pues (N+2)
2
≤ N para todo N ≥ 2.
Caso 2: g = sp N . Debemos ver que
s(s + 1)
2
+
t(t − 1)
2
< N 2
2
para todo s ≥ 2, t ≥ 3, t ≠ 4; o s = 2, t = 4, st = N.
(A.9)
Demostración. Al igual que el caso anterior tenemos que s ≤ N/2 y t ≤ N/2. Luego
s(s + 1)
2
+
t(t − 1)
2
≤
N(N + 2)
8
+
N(N − 2)
8
= N 2
4 < N 2
2 .
Caso 3: g = so N . Probaremos las desigualdades correspondientes para el caso N par y N impar.
Claramente, so N tiene subgrupos del tipo sp s × sp t , st = N, sólo si 4|N.
Pero
Demostración. Supongamos que N es par. Luego, basta ver que
s(s + 1)
2
+
t(t + 1)
2
s(s + 1)
2
+
<
t(t + 1)
2
N(N − 2)
2
≤
N(N + 2)
8
para todo s, t pares con 2 ≤ s ≤ t, st = N.
+
N(N + 2)
8
=
N(N + 2)
4
<
N(N − 2)
,
2
(A.10)
pues (N+2)
2
< N − 2 para todo N > 6. Si N = 6, por el Teorema A.3.4, so N no posee subálgebras
maximales irreducibles no simples no triviales de este tipo.