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64 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Por el Lema 4.2.8 sabemos que T, y en particular T fη , actúa en qAut(G) por t·f(x) = tf(x)t −1
para todo f ∈ qAut(G), t ∈ T.
Afirmación: si t ∈ T fη , entonces C η,t·f,τ = C η,f,τ .
En efecto, µ ∈ C η,t·f,τ si y sólo si existe v ∈ Z 1 (t·f),η (Γ, T(t·f)η ) tal que µ(τ(x)) = (t·f)(η(x))v(x).
En tal caso
µ(τ(x)) = (t · f)(η(x))v(x) = tf(η(x))t −1 v(x) = tf(η(x))v(x)t −1
= f(η(x))[f(η(x)) −1 tf(η(x))]v(x)t −1 = f(η(x))(t · v)(x),
lo que implica que µ ∈ C η,f,τ , ya que por el Lema 4.2.13, Z 1 (t·f),η (Γ, T(t·f)η ) = Z 1 f,η (Γ, Tfη ) para
todo t ∈ T, y por el Lema 4.2.14, t · v ∈ Z 1 f,η (Γ, Tfη ). Luego, C η,t·f,τ ⊆ C η,f,τ . Reemplazando f por
t −1 · f se sigue la otra inclusión. Entonces podemos escribir
C η =
∐
τ∈Aut(Γ) f∈J t∈t
∐ ∐
C η,t·f,τ ,
donde J es un conjunto de representantes de qAut(G)/T y t es un conjunto de representantes de
T/T fη . Como Aut(Γ) es finito, y por el Lema 4.2.8 (c), J también es finito, si C η contiene infinitos
σ i entonces existen τ ∈ Aut(Γ) y f ∈ J tal que ∐ t∈t C η,t·f,τ contiene infinitos σ i . Si σ i ∈ C η,t·f,τ para
algún t ∈ t, entonces t −1 · σ i ∈ C η,f,τ . Pero por los Lemas 4.2.14 y 4.2.17, sabemos que el conjunto
C η,f,τ /T fη es finito, lo que implica que deben existir σ j , i ≠ j y s ∈ T tales que [t −1 · σ i ] = [s −1 · σ j ].
Pero esto contradice la hipótesis sobre la familia {σ i } i∈I puesto que en tal caso, existiría r ∈ T fη
tal que t −1 · σ i = r · (s −1 · σ j ) = (rs −1 ) · σ j , esto es σ i = (trs −1 ) · σ j con trs −1 ∈ T.
En conclusión, existen sólo finitos elementos del conjunto {σ i } i∈I en cada C η , para todo η ∈ E.
Por lo tanto, por los Teoremas 4.2.4 y 4.2.20 y el Lema 4.2.22, existe un subconjunto J ⊂ I infinito
tal que las álgebras de Hopf {A σj } j∈J son no isomorfas entre sí, no semisimples, no punteadas y sus
duales tampoco son punteados.
Ejemplo 4.2.24. Sea n ≥ 2 y sea Γ un subgrupo finito de SL(2). Consideremos la inclusión
σ : Γ → SL n (C) dada por σ(x) = ( )
x 0
0 I n−2 , x ∈ Γ. Si Γ no es central, esto es Γ {± id}, obtenemos
una familia infinita de álgebras de Hopf no isomorfas entre sí, no semisimples, no punteadas con
duales no punteados y de dimensión |Γ|l n2−1 . Un ejemplo análogo se puede describir para cualquier
G simple. Los ejemplos dados por Müller en [Mu2, Thm. 5.13] son un caso particular de la situación
anterior, para G = SL(2) y Γ = G l .
Ejemplo 4.2.25. Dado G un grupo algebraico afín simple, en general no se sabe cuáles son
sus subgrupos finitos. Más aún, en caso de conocerlos resultaría imposible dar una lista explícita de
ellos. Por ejemplo, existen infinitos subgrupos finitos dentro de un toro maximal de G.
Usando teoría de caracteres e indicadores de Frobenius-Schur, es posible determinar si un grupo
finito fijo Γ está incluido en alguno de los grupos clásicos SL(N), O(N) y Sp(N): si ρ : Γ → GL(N)
es una representación fiel irreducible de Γ y χ es su carácter, el indicador de Frobenius-Schur se
define por ε = 1 ∑
|Γ| g∈Γ χ(g2 ). Luego, Γ está incluido en SL(N), O(N) o Sp(N) si ε = 0, 1 o −1
respectivamente.