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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 59
Demostración. Sea η ∈ C σ,f,τ . Por definición, existe v = v η ∈ Z 1 f,σ (Γ, Tfσ ) tal que η(τ(x)) =
f(σ(x))v(x) para todo x ∈ Γ. Entonces, para todo t ∈ T fσ se tiene que
t · η(τ(x)) = tη(τ(x))t −1 = tf(σ(x))v(x)t −1 = f(σ(x))f(σ(x)) −1 tf(σ(x))v(x)t −1
= f(σ(x))[f(σ(x)) −1 tf(σ(x))]v(x)t −1 = f(σ(x))(t ↼ x)v(x)t −1
= f(σ(x))(t · v)(x),
lo cual implica que t · η ∈ C σ,f,τ . Claramente, s · (t · η) = (st) · η para todo t, s ∈ T fσ . Por lo tanto,
la aplicación (t, η) ↦→ t · η define una acción de T fσ en C σ,f,τ . Denotemos por [η] a la clase de η en
C σ,f,τ /T fσ . Entonces [η] = [ν] si y sólo si existe t ∈ T fσ tal que t · η = ν.
Luego, la aplicación definida por
C σ,f,τ /T fσ → H 1 f,σ (Γ, Tfσ ), [η] ↦→ [v η ],
está bien definida y es inyectiva, puesto que de los cálculos anteriores se deduce que ν = t · η si y
sólo si v ν = t · v η para todo t ∈ T fσ .
Antes de probar los siguientes lemas necesitamos una definición.
Definición 4.2.15. Sea G un grupo algebraico. Decimos que G es un d-grupo si el anillo de
coordenadas O(G) tiene una base que consiste de caracteres.
Claramente un toro T contenido en un grupo algebraico G es un d-grupo, ya que cualquier función
polinómica es una combinación de monomios construidos a partir de las funciones coordenadas y
sus inversas.
Lema 4.2.16. [Hu1, Prop. 16.1 y Thm. 16.2]
(a) Si H es un subgrupo cerrado de un d-grupo G, entonces H también es un d-grupo.
(b) Un d-grupo conexo es un toro.
El siguiente lema es crucial para la demostración del Teorema 4.2.23.
Lema 4.2.17. El grupo H 1 f,σ (Γ, Tfσ ) es finito.
Demostración. Sea T fσ
0 la componente conexa de T fσ que contiene a la identidad y sea T =
T fσ /T fσ
0 . Entonces |T| es finito, ya que como es sabido, Tfσ 0 tiene índice finito en T fσ . Como la
acción de Γ en T fσ está dada por la conjugación vía f y σ, se sigue que para todo x ∈ Γ, x actúa en
T fσ por un automorfismo continuo. Por lo tanto, T fσ
0 es estable bajo la acción de Γ y por ende, la
acción de Γ en T fσ induce una acción de Γ en T. Luego, se tiene una sucesión exacta de Γ-módulos
T fσ
0
T fσ T,
la cual induce por [Br, Prop. III.6.1] una sucesión exacta larga
0 Hf,σ 0 (Γ, Tfσ 0 ) α 0 ∗
Hf,σ 0 (Γ, Tfσ ) β0 ∗
Hf,σ 0 (Γ, T)