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72 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
El resultado del corolario se lee mejor aún si G(U) es abeliano y dim R(1) g = 1 para todo
g ∈ Sup R(1); pues las subálgebras de Hopf de U están parametrizadas en este caso por pares (F, J)
donde F es un subgrupo de G(U) y J ⊂ Sup R(1) está contenido en F . De esta manera, se recuperan
resultados de [CM, MuI, MuII].
Como corolario, aplicamos el resultado a los núcleos de Frobenius-Lusztig. Comparar con [MuII,
Thm. 6.3].
Corolario 5.1.4. Las subálgebras de Hopf de u ɛ (g) están parametrizadas por ternas (Σ, I + , I − )
donde Σ es un subgrupo de T := 〈K α1 , . . . , K αn 〉 e I + ⊆ Π, I − ⊆ −Π son tales que K αi ∈ Σ si
α i ∈ I + ∪ −I − .
5.2. Construcción de subgrupos cuánticos finitos
En esta sección se construyen cocientes de dimensión finita del álgebra de coordenadas cuantizada
O ɛ (G). Este proceso se realizará en tres pasos.
Sean G un grupo de Lie conexo, simplemente conexo y simple sobre C con álgebra de Lie g,
ɛ una raíz l-ésima primitiva de la unidad y l ∈ N como en el capítulo anterior. Recordemos que
O ɛ (G) es parte de la sucesión exacta de álgebras de Hopf
1 → O(G) ι −→ O ɛ (G) π −→ u ɛ (g) ∗ → 1. (5.3)
5.2.1. Primer paso
Sea r : u ɛ (g) ∗ → H un epimorfismo de álgebras de Hopf. En lo que sigue se construyen cocientes
de O ɛ (G) Q(ɛ) sobre Q(ɛ) asociados a una subálgebra de Hopf de u ɛ (g) y se corresponden a una
subálgebra de Lie algebraica y regular de g y a un subgrupo de Lie conexo L. Como u ɛ (g) es de
dimensión finita, la aplicación r induce un monomorfismo t r : H ∗ → u ɛ (g). Luego, por el Corolario
5.1.4, el álgebra de Hopf H ∗ está parametrizada por una terna (Σ, I + , I − ).
La subálgebra de Hopf Γ ɛ (l) de Γ ɛ (g)
Definición 5.2.1. Para toda terna (Σ, I + , I − ) se define Γ(l) como la subálgebra de Γ(g) generada
por los elementos
(
Kαi ; 0
m
Kα −1
i
)
:=
m∏
s=1
E (m)
j
:= Em j
[m] qj !
F (m)
k
:= F m k
[m] qk !
(
Kαi qi −s+1 )
− 1
qi s − 1
(1 ≤ i ≤ n),
(m ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n),
(m ≥ 1, α j ∈ I + ),
(m ≥ 1, α k ∈ I − ),
donde q i = q d i
para todo 1 ≤ i ≤ n. Notar que Γ(l) no depende de Σ, sino solamente de I + e I − .