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88 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Z = {∂ z | z ∈ N} tal que ¯π(∂ z ) = D z para todo z ∈ N y H = u ɛ (l) ∗ /(D z − 1| z ∈ N). Para ver que
A = A D para un cierto dato de grupo finito D = (I + , I − , N, Γ, σ, δ) basta encontrar el morfismo de
grupos δ : N → ̂Γ tal que A = A ɛ,l,σ /J δ . Esto viene dado por el último lema de esta tesis.
Lema 5.3.4. Existe un morfismo de grupos δ : N → ̂Γ tal que J δ = (∂ z − δ(z)| z ∈ N) es un
ideal de Hopf de A ɛ,l,σ y A = A ɛ,l,σ /J δ .
Demostración. Sea ∂ z ∈ Z. Entonces por el Lema 5.2.13 (b), tenemos que ˆπt(∂ z ) = v¯π(∂ z ) = 1
para todo z ∈ N. Luego, se tiene que t(∂ z ) ∈ Ker ˆπ. Como t(∂ z ) es un elemento tipo grupo, esto
implica que t(∂ z ) ∈ C Γ . Así, usando que G(C Γ ) = Alg(C[Γ], C) = ̂Γ, tenemos definido un morfismo
de grupos
δ : N → ̂Γ, δ(z) = t(∂ z ) ∀ z ∈ N.
Consideremos entonces el ideal bilátero de A ɛ,l,σ dado por J δ = (∂ z − δ(z)| z ∈ N). Claramente
J δ es un ideal de Hopf y t(J δ ) = 0. Esto implica que J δ ⊆ Ker t y por consiguiente se tiene un
epimorfismo de álgebras de Hopf
η : A ɛ,l,σ /J δ ↠ A.
Pero por el Teorema 5.2.17 tenemos que A D := A ɛ,l,σ /J δ es una C Γ -extensión de H, lo que
implica que dim A D = |Γ| dim H = dim A y por lo tanto η es un isomorfismo.