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APÉNDICE 101
Tabla A.5: Subgrupos irreducibles de SL(N) con respecto a la alternación
H dim H N dim SL(N)
B n n(2n + 1) 2n + 1 4n 2 + 4n
n ≥ 2
D n n(2n − 1) 2n 4n 2 − 1
n ≥ 3
A n n(n + 2)
n ≥ 3
A n n(n + 2)
n ≥ 2
n(n+1)
2
(n+1)(n+2)
2
n 2 (n+1) 2
4
− 1
(n+1) 2 (n+2) 2
4
− 1
D 5 45 16 255
E 6 78 27 728
Luego, basta encontrar para cada grupo de Lie simple clásico G y cada representación fiel ρ de G
todos los subgrupos H de G que son irreducibles con respecto a ρ. A continuación, enunciamos los
teoremas que resuelven el problema y luego de cada enunciado adjuntamos la tabla correspondiente
a las álgebras de Lie. Como el estudio de las representaciones de G no es el tema que aquí nos
ocupa, para definiciones referimos directamente al trabajo de Dynkin [D2].
Subálgebras maximales de sl N
El siguiente teorema da la clasificación de los subgrupos irreducibles de SL(N).
Teorema A.3.7. [D2, Thm. 4.1] Toda representación no trivial ρ de SL(N) que es irreducible
con respecto a algún subgrupo propio H es una alternación π k o una simetrización de las
representaciones fundamentales. El subgrupo simpléctico Sp(N) es irreducible con respecto a las
simetrizaciones de todo orden. Con respecto a cualquier otro grupo, las simetrizaciones de orden
k ≥ 2 son reducibles. La clasificación completa de todos los casos en los cuales H es irreducible con
respecto a la alternación está dada por la Tabla A.5.
La Tabla A.5 difiere un poco de [D2, Tabla 6]. Notaremos como N = N(ρ) la dimensión de la
representación fiel de SL(N). Luego, dim SL(N) = N 2 − 1. Observar que el subgrupo SO(N) ⊆
SL(N) (primeros dos casos) es irreducible con respecto a la alternación.
Usando el teorema anterior obtenemos una lista completa de las subálgebras maximales no
regulares simples de sl N .
Claramente, para m de tipo D 5 y E 6 se satisface (A.2). Veamos que también se satisface en los
otros casos.
Caso 1: m de tipo C n . Debemos ver que
n(2n + 1) < 4n 2 − 2n para todo n ≥ 3. (A.12)