Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

52 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Demostración. Como G ≃ Alg(O(G), C), podemos suponer que Γ ⊆ Alg(O(G), C). Si denotamos
J = ⋂ g∈Γ
Ker g, se sigue que J es un ideal de Hopf de O(G) y Γ ≃ Alg(O(G)/J, C). Como
Alg(C Γ , C) ≃ Γ, concluimos que O(G)/J ≃ C Γ y el epimorfismo de álgebras de Hopf está dado por
el cociente ϱ : O(G) → O(G)/J.
Recíprocamente, al ser O(G) conmutativa, H es un álgebra de Hopf de dimensión finita que es
conmutativa, y por ende isomorfa a C Γ donde Γ es el grupo finito dado por Γ = Alg(H, C). Como
ϱ es sobreyectiva, existe una inclusión t ϱ : Γ = Alg(H, C) → Alg(O(G), C) = G, de donde se sigue
la afirmación.
Ahora aplicamos la construcción general de la Subsección 2.3.2 en el contexto de O ɛ (G).
Construcción 1. Sea Γ un grupo finito y sea σ : Γ → G una inclusión de Γ en G. Denotemos
por ϱ al epimorfismo de álgebras de Hopf ϱ : O(G) → C Γ dado por el Lema 4.2.1. Entonces la
sucesión exacta de álgebras de Hopf (4.19) da lugar por la Proposición 2.3.1 a una sucesión exacta
de álgebras de Hopf de dimensión finita
1 → C Γ j −→ O ɛ (G)/(J ) ¯π −→ u ɛ (g) ∗ → 1, (4.20)
donde J = Ker ϱ, (J ) = O ɛ (G)J y C Γ es central en O ɛ (G)/(J ). Luego, el álgebra de Hopf
O ɛ (G)/(J ) está dada por un pushout y por el Lema 2.3.3, dim O ɛ (G)/(J ) es finita. De aquí en más
escribimos A σ = O ɛ (G)/(J ).
Construcción 2. Sean σ como en la Construcción 1 y r : u ɛ (g) ∗ → L un epimorfismo de
álgebras de Hopf. Por el Teorema 2.1.4, tenemos que la extensión central A σ es cleft. Entonces
existe una retracción ξ ∈ Reg ε (A σ , k Γ ) y por la Proposición 2.3.5, se tiene una sucesión exacta de
álgebras de Hopf asociada a la terna (σ, r, ξ):
1 → K r,ξ → A σ,r,ξ → L → 1,
donde K r,ξ = C Γ /(I ∩ C Γ ) es central en A σ,r,ξ y dim A σ,r,ξ es finita.
Aunque ambas construcciones parecen ser de interés, nos concentraremos sólo en la primera para
dar nuevos resultados sobre familias infinitas de álgebras de Hopf de dimensión finita. El siguiente
lema generaliza [Mu2, Prop 5.3].
Lema 4.2.2. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de sucesiones exactas de álgebras
de Hopf
1 ι
O(G) O ɛ (G)
π u ɛ (g) ∗ 1
1
p
C Γ
j
A
q
r
¯π L 1,
donde Γ es un grupo finito y p, q, r son epimorfismos de álgebras de Hopf. Sea σ : Γ → G el
monomorfismo de grupos inducido por p. Entonces
(a) El morfismo C Γ
j −→ A induce un morfismo de grupos G(A ∗ ) t j
−→ Γ e Im σ( t j) ⊆ T ∩ σ(Γ).
(b) Si A ∗ es punteada, entonces σ(Γ) es un subgrupo del toro maximal T de G.