Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

74 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Demostración. (a) Por definición, sabemos que los elementos E j son (K αi , 1)-primitivos, los F k
son (1, Kα −1
k
)-primitivos y los K αi son elementos de tipo grupo. Más aún, la antípoda está dada por
S(K αi ) = Kα −1
i
, S(E j ) = −Kα −1
j
E j y S(F k ) = −F k K αk para todo 1 ≤ i ≤ n, α j ∈ I + y α k ∈ I − .
Por lo tanto, la subálgebra de Γ(l) generada por estos elementos es una subálgebra de Hopf de Γ(g)
y Γ(l)/[χ l (q)Γ(g) ∩ Γ(l)] es una subálgebra de Hopf de Γ ɛ (g). Como por el Lema 5.2.2 sabemos que
Γ(g) = Γ(l)⊕N para algún R-submódulo N, tenemos que χ l (q)Γ(g)∩Γ(l) = χ l (q)(Γ(l)⊕N)∩Γ(l) =
χ l (q)Γ(l), lo cual implica que Γ ɛ (l) = Γ(l)/[χ l (q)Γ(g) ∩ Γ(l)].
(b) Probaremos la afirmación sólo para Γ ɛ (g), pues la demostración de la otra afirmación es
análoga. Consideremos la aplicación α : Γ(g) ⊗ R R/[χ l (q)R] → Γ ɛ (g) dada por α(x ⊗ ā) = xa.
Claramente α es un morfismo de Q(ɛ)-álgebras bien definido. Más aún, dicho morfismo es inversible
con inversa β : Γ ɛ (g) → Γ(g) ⊗ R R/[χ l (q)R] dada por β(¯x) = x ⊗ ¯1. Está bien definido pues
¯x = 0 si y sólo si x ∈ χ l (q)Γ(g), esto es, si y sólo si existe y ∈ Γ(g) tal que x = χ l (q)y; en
tal caso, x ⊗ ¯1 = y ⊗ χ l (q) = 0. Más aún, β es la inversa ya que αβ(¯x) = α(x ⊗ ¯1) = ¯x y
βα(x ⊗ ā) = β(xa) = x ⊗ ā. Por lo tanto, α es un isomorfismo de Q(ɛ)-álgebras.
El núcleo regular de Frobenius-Lusztig u ɛ (l)
Sea u ɛ (l) la subálgebra de Γ ɛ (l) generada por los elementos
{K αi , E j , F k : 1 ≤ i ≤ n, α j ∈ I + , α k ∈ I − }.
Lema 5.2.4. u ɛ (l) es una subálgebra de Hopf de Γ ɛ (l) tal que Γ ɛ (l) ∩ u ɛ (g) = u ɛ (l). Como
subálgebra de Hopf de u ɛ (g) está determinada por la terna (T, I + , I − ) con T = 〈K α1 , . . . , K αn 〉.
Demostración. Por la demostración de la parte (a) del lema anterior se sigue fácilmente que u ɛ (l)
es una subálgebra de Hopf de Γ ɛ (l). Como el núcleo de Frobenius-Lusztig u ɛ (g) es la subálgebra
de Hopf de Γ ɛ (g) generada como álgebra por los elementos {K αi , E i , F i : 1 ≤ i ≤ n}, es claro que
u ɛ (l) ⊆ Γ ɛ (l) ∩ u ɛ (g). Más aún, del Lema 5.2.2 se sigue que cada elemento de Γ ɛ (l) ∩ u ɛ (g) debe
estar contenido en u ɛ (l). La última afirmación se sigue inmediatamente del Corolario 5.1.4.
Como consecuencia del lema anterior se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
u ɛ (g)
Γ ɛ (g)
(5.4)
u ɛ (l)
Γ ɛ (l).
Recordar que el morfismo cuántico de Frobenius Γ ɛ (g) Fr −→ U(g) Q(ɛ) está definido en los generadores
de Γ ɛ (g) por
Fr(E (m)
i
) =
{
e (m/l)
i
si l|m
0 si l ∤ m
, Fr(F
(m)
i
) =
{
f (m/l)
i
si l|m
0 si l ∤ m ,
Fr( ( )
K αi ;0
{( h i;0
m ) =
m ) si l|m
0 si l ∤ m , Fr(K−1 α i
) = 1, para todo 1 ≤ i ≤ n.