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26 CAPÍTULO 2. EXTENSIONES DE ÁLGEBRAS DE HOPF
Para la segunda ecuación, tomemos a ∈ A. Entonces
∆(u(a)) = (q 2 (F (S(a (1) )))ω(q 1 (a (2) ))) (1) ⊗ (q 2 (F (S(a (1) )))ω(q 1 (a (2) ))) (2)
= q 2 (F (S(a (1) ) (1) ))ω(q 1 ((a (2) ) (1) )) ⊗ q 2 (F (S(a (1) ) (2) ))ω(q 1 ((a (2) ) (2) ))
= q 2 (F (S(a (2) )))ω(q 1 (a (3) )) ⊗ q 2 (F (S(a (1) )))ω(q 1 ((a (4) )))
= u(a (2) ) ⊗ q 2 (F (S(a (1) )))ω(q 1 (a (3) )) = u(a (2) ) ⊗ q 2 (F (S(a (1) )))q 2 (F (a (3) ))u(a (4) )
= u(a (2) ) ⊗ q 2 (F (S(a (1) )a (3) ))u(a (4) ).
Probemos ahora la recíproca: sea (ω, g, u) una terna que satisface (a), (b) y (c) y sean F ∈
Aut(A), ω ∈ Aut(H) tales que F π = ωπ y F | B = g. Definamos ϕ : A → A 2 como la aplicación
k-lineal dada por
ϕ(a) = q 2 (F (a (1) ))u(a (2) ) para todo a ∈ A.
Como K 2 es central en A 2 y u ∈ Reg 1,ε (A, K 2 ) es un morfismo de álgebras que satisface la ecuación
(2.13), se sigue que ϕ es un morfismo de álgebras de Hopf. Más aún, por la ecuación (2.12) se tiene
que
ϕ(ι(b)) = j 2 (p 2 (g(b (1) ))u(ι(b (2) ))) = j 2 (ω(p 1 (b))) para todo b ∈ B.
Al estar A 1 dado por un pushout, existe un único morfismo de álgebras de Hopf ω : A 1 → A 2 tal
que el siguiente diagrama conmuta:
B
ι
A
p 1
K 1
j 1
ω
q 1
A 1
ϕ
∃!ω
K 2
j 2
A 2 .
En particular, j 2 ω = ωj 1 y ωπ 1 = π 2 ω, ya que para todo a ∈ A 1 :
π 2 ω(q 1 (a)) = π 2 ϕ(a) = π 2 (q 2 (F (a (1) ))u(a (2) )) = π 2 (q 2 (F (a (1) )))π 2 (u(a (2) )) = π(F (a (1) ))ε(a (2) )
= π(F (a)) = ω(π(a)) = ω(π 1 (q 1 (a))).
Luego, ambas sucesiones exactas son parte de un diagrama conmutativo
j
1 1
K 1
π 1
A 1 H
ω
1 K 2
j 2 A 2
π 2
H 1.
ω
ω
1
(2.14)
Si dim K 1 y dim H son finitas, entonces dim A 1 = dim A 2 también son finitas por la Proposición
2.3.3. Como el diagrama (2.14) es conmutativo, se sigue que
dim ω(A 1 ) = dim ω(K 1 ) dim(ω(A 1 )/ω(K 1 ) + ω(A 1 )) = dim ω(K 1 ) dim ω(H)
= dim K 2 dim H = dim A 2 ,
lo cual implica que ω es un isomorfismo.