Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Notar que A es conmutativa si y sólo si m ◦ τ = m en A ⊗ A. Dualizando la noción de álgebra se
define:
Definición 1.1.3. Una k-coálgebra con counidad es un k-espacio vectorial no nulo C munido de
dos aplicaciones lineales, la comultiplicación o coproducto ∆ : C → C ⊗ C y la counidad ε : C → k
tales que los siguientes diagramas conmutan:
Coasociatividad:
Counidad:
∆
C
C ⊗ C
∆
id ⊗∆
C ⊗ C
∆⊗id
C ⊗ C ⊗ C
Diremos que C es coconmutativa si τ ◦ ∆ = ∆ en C.
k ⊗ C
≃
∆
ε⊗id
C
≃
id ⊗ε
C ⊗ C
C ⊗ k
Definición 1.1.4. Sean C y D dos coálgebras con comultiplicación ∆ C y ∆ D y counidad ε C y
ε D respectivamente.
(i) Una aplicación lineal f : C → D es un morfismo de coálgebras si ∆ D ◦ f = (f ⊗ f)∆ C y
ε C = ε D ◦ f.
(ii) Un subespacio I ⊆ C es un coideal si ∆(I) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I y ε C (I) = 0.
Con esta definición es claro que I es un coideal de C si y sólo si el k-espacio vectorial C/I es una
coálgebra con la comultiplicación inducida de ∆ C . Notar que, al ser ε C un morfismo de coálgebras,
se sigue que el subespacio C + = Ker ε ⊆ C es un coideal de C.
Para trabajar con coálgebras usaremos la notación sigma de Sweedler: si c es un elemento de
una coálgebra (C, ∆, ε), notaremos al elemento ∆(c) = ∑ i a i ⊗ b i ∈ C ⊗ C de la siguiente forma
∆(c) = c (1) ⊗ c (2) .
Por ejemplo, el axioma de coasociatividad de C dado por (∆ ⊗ id) ◦ ∆ = (id ⊗∆) ◦ ∆, se puede
expresar como
para todo c ∈ C.
(c (1) ) (1) ⊗ (c (1) ) (2) ⊗ c (2) = c (1) ⊗ (c (2) ) (1) ⊗ (c (2) ) (2) = c (1) ⊗ c (2) ⊗ c (3) ,
Definición 1.1.5. Sea C una k-coálgebra. Un C-comódulo a derecha es un k-espacio vectorial
M munido de un morfismo lineal ρ : M → M ⊗ C tal que los siguientes diagramas conmutan
M
ρ
M ⊗ C
ρ
M M ⊗ C.
ρ
ρ⊗id
≃
id ⊗ε
M ⊗ C
id ⊗∆ C
M ⊗ C ⊗ C
M ⊗ k