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46 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
( )
Kαi ; −c
t
(
Kαi ; c + 1
t
= ∑ t
p=0 (−1)p q −t(c+p)+p(p+1)/2
i
)
t
(
Kαi ; c
t
)
−
(
Kαi ; c
t
K λ E (t)
j
( ) ( p + c − 1 Kαi ; 0
p t − p
q i
(
= qi
c−t+1 Kαi ; c
K αi
t − 1
)
, c ≥ 1, (4.6)
)
, t ≥ 1, (4.7)
= q t(α j,λ) E (t)
j
K λ , λ ∈ P, (4.8)
K λ F (t)
j
= q −t(αj,λ) F (t)
j
K λ , λ ∈ P, (4.9)
( )
( )
Kαi ; c
E (m)
j
= E (m) Kαi ; c + ma ij
j
, (4.10)
E (r)
i
F (s)
i
F (s)
i
E (r)
i
E (r)
i
E (s)
i
=
F (r)
i
F (s)
i
=
)
F (m)
j
= F (m)
j
[ ] r + s
r
[ r + s
r
]
t
(
Kαi ; c − ma ij
E (r+s)
i
, E (0)
q i
t
)
, (4.11)
i
= 1, (4.12)
F (r+s)
i
, F (0)
i
= 1, (4.13)
q i
∑r+s=1−a ij
(−1) s E (r)
i
E j E (s)
i
= 0, (4.14)
∑r+s=1−a ij
(−1) s F (r)
i
F j F (s)
i
= 0, (4.15)
E (r)
i
F (s)
j
= ∑ t≤r,s
0≤t
F (s−t)
i
= ∑ t≤r,s
0≤t
(−1)t E (r−t)
i
= F (s)
j
E (r)
i
, i ≠ j (4.16)
[ ]
Kαi ; 2t − r − s
E (r−t)
t
i
, (4.17)
[ ]
Kαi ; r + s − t − 1
F (s−t)
i
. (4.18)
En lo que sigue definimos el álgebra de coordenadas cuantizada de G. Sea C la subcategoría
estricta plena de Γ(g)-mod cuyos objetos son Γ(g)-módulos M tales ) que M es un R-módulo libre de
rango finito con una base sobre la cual los operadores K αi y actúan por matrices diagonales
con autovalores q m i y ( m t ) qi
respectivamente.
t
(
Kαi ;0
t
Definición 4.1.6. [DL, Section 4.1] Denotemos por R q [G] al R-submódulo de Hom R (Γ(g), R)
generado por las funciones coordenadas t j i
de representaciones M de C
< t j i , g >=< mj , g · m i >,
donde (m i ) es la R-base de M, (m j ) es la base dual y g ∈ Γ(g). Como la subcategoría C es tensorial,
R q [G] es un álgebra de Hopf.
Sea ɛ una raíz l-ésima primitiva de 1. Si denotamos por χ l (q) ∈ R al l-ésimo polinomio ciclotómico,
entonces R/[χ l (q)R] ≃ Q(ɛ).
Definición 4.1.7. [DL, Section 6] El álgebra R q [G]/[χ l (q)R q [G]] se denota por O ɛ (G) Q(ɛ) y se
denomina el álgebra de coordenadas cuantizada de G sobre Q(ɛ) en la raíz de la unidad ɛ. De la misma
manera que para O ɛ (G) Q(ɛ) , podemos tomar la Q(ɛ)-álgebra de Hopf Γ ɛ (g) := Γ(g)/[χ l (q)Γ(g)].
Usando la siguiente definición, podemos relacionar las álgebras de Hopf O ɛ (G) Q(ɛ) y Γ ɛ (g).