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100 A.3. SUBÁLGEBRAS MAXIMALES NO REGULARES
Supongamos ahora que N es impar. Debemos ver que
s(s − 1)
2
+
t(t − 1)
2
Como s ≤ N/2 y t ≤ N/2 tenemos que
Pero
N(N − 2)
4
<
s(s − 1)
2
(N − 1)2
2
lo cual siempre se cumple.
+
<
t(t − 1)
2
(N − 1)2
, para todo st = N, 3 ≤ s ≤ t, s, t ≠ 4. (A.11)
2
≤
N(N − 2)
8
+
N(N − 2)
8
=
N(N − 2)
.
4
⇔ N 2 − 2N < 2N 2 − 4N + 2 ⇔ 0 < N 2 − 2N + 2 = (N − 1) 2 + 1,
A.3.2.
Subálgebras maximales no regulares simples
La clasificación de los subgrupos maximales irreducibles simples de los grupos clásicos se deduce
del hecho que los grupos irreducibles de transformaciones lineales y los subgrupos maximales de los
grupos clásicos esencialmente coinciden.
Recordar que un grupo unimodular de transformaciones lineales de C N es un grupo de matrices
de determinante 1.
Teorema A.3.5. [D2, Thm. 1.5] Todo grupo unimodular irreducible de transformaciones lineales
de C N es, salvo algunas excepciones conocidas, maximal o bien en SL(N), si no posee una forma
bilineal invariante, o en Sp(N), si posee una forma bilineal antisimétrica invariante, o en SO(N),
si posee una forma bilineal simétrica invariante.
Observación A.3.6. (a) Las excepciones a la regla general dada por el teorema anterior están
descritas en [D2, Tabla 1].
(b) Las tres posibilidades en el teorema anterior son mutuamente excluyentes, ya que un subgrupo
irreducible no puede tener simultáneamente una forma invariante simétrica y antisimétrica no nula.
(c) Los grupos irreducibles de transformaciones lineales unimodulares fueron clasificados por
Cartan [Ca]. Luego, del teorema anterior y de la Observación (a) se sigue la clasificación de los
subgrupos maximales irreducibles simples de los grupos clásicos. En efecto, todos los grupos irreducibles
de transformaciones lineales unimodulares son conocidos y se sabe cuáles no son maximales
en SL(N), Sp(N) o en SO(N). Claramente, si G es un grupo clásico y M es un subgrupo maximal
irreducible simple, entonces M es un grupo de transformaciones lineales unimodulares.
La demostración del Teorema A.3.5 se realiza a través de la teoría de representaciones. Sea G
un grupo de Lie simple complejo y ρ : G → SL(N) una representación lineal de G. El espacio de
representación en el cual G actúa será denotado por R ρ y su dimensión por N(ρ). Diremos que la
representación (ρ, R ρ ) es fiel si ρ es inyectiva. Si un subespacio ˜R de R ρ es invariante bajo la acción
de G, diremos que ˜R reduce a ρ. Así, una representación se dice reducida si es reducida por algún
subespacio propio no nulo. Finalmente, un subgrupo H de G se dice irreducible con respecto a ρ si
(ρ| H , R ρ ) es irreducible.