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20 CAPÍTULO 2. EXTENSIONES DE ÁLGEBRAS DE HOPF
Recordar que A p,r,ξ es un L-comódulo álgebra a derecha vía ρ = (id ⊗π ξ )∆. Mostraremos ahora
que ¯γ es un morfismo de L-comódulos, es decir, ρ¯γ(t) = (¯γ ⊗ id)∆(t) para todo t ∈ L. Sean t ∈ L
y h ∈ H tales que r(h) = t. Usando que q ξ y r son morfismos de álgebras de Hopf, que γ es un
morfismo de H-comódulos a derecha y la igualdad π ξ q ξ = rπ p se tiene que
ρ¯γ(t) = ρ¯γ(r(h)) = (id ⊗π ξ )∆(¯γ(r(h)))
= (id ⊗π ξ )∆(q ξ (γ(h))) = (id ⊗π ξ )(q ξ ⊗ q ξ )∆(γ(h))
= (q ξ ⊗ π ξ q ξ )∆(γ(h))) = (q ξ ⊗ rπ p )∆(γ(h))
= (q ξ ⊗ r)(id ⊗π p )∆(γ(h)) = (q ξ ⊗ r)(γ ⊗ id)∆(h)
= q ξ (γ(h (1) )) ⊗ r(h (2) ) = ¯γ(r(h (1) )) ⊗ r(h (2) )
= ¯γ(r(h) (1) ) ⊗ r(h) (2) = (¯γ ⊗ id)∆(r(h))
= (¯γ ⊗ id)∆(t).
Para terminar, probamos que ¯γ ∈ Reg 1 (L, A p,r,ξ ). Es claro que ¯γ(1) = ¯γ(r(1)) = q ξ γ(1) =
q ξ (1) = 1. Luego, basta mostrar que ¯γ es inversible con respecto a la convolución. Sean t ∈ L y
h ∈ H tales que r(h) = t y definamos ¯γ −1 (t) = q ξ γ −1 (h). Al igual que antes, se puede ver que ¯γ −1
es una función bien definida y es la inversa de ¯γ con respecto a la convolución. A saber,
¯γ ∗ ¯γ −1 (t) = ¯γ ∗ ¯γ −1 (r(h)) = ¯γ(r(h) (1) )¯γ −1 (r(h) (2) )
= ¯γ(r(h (1) ))¯γ −1 (r(h (2) )) = q ξ γ(h (1) )q ξ γ −1 (h (2) )
= q ξ (γ(h (1) )γ −1 (h (2) )) = q ξ (ε(h)) = ε(t).
La demostración de ¯γ −1 ∗ ¯γ = ε L 1 Ap,r,ξ
es similar.
Si para todo a ∈ A p,r,ξ definimos ¯ξ(a) = a (1)¯γ −1 (π ξ (a (2) )), entonces por [A1, Lemma 3.1.14] se
tiene que ¯ξ ∈ Reg ε (A p,r,ξ , K r,ξ ) y satisface la Definición 2.1.3 (iv), lo cual implica que la extensión
es hendida vía ¯γ.
Observación 2.3.7. Como la extensión A p dada por (2.6) es hendida vía ξ y γ, A p es isomorfa
como álgebra de Hopf a un producto cruzado K τ # σ H, donde τ : H → K ⊗ K es un 2-cociclo
determinado por ξ y σ : H ⊗ H → K es un 2-cociclo determinado por γ, ver [DT, Thm. 11] y [AD,
Prop. 3.2.9]. El isomorfismo
φ : A p → K τ # σ H
está dado por la fórmula φ(a) = ξ(a (1) )#π p (a (2) ) y su inversa φ −1 por φ −1 (b#h) = bγ(h) para
todo a ∈ A p , b ∈ K, h ∈ H. Análogamente, el cociente A p,r,ξ es isomorfo a un producto cruzado
K r,ξ ¯τ #¯σ L. Si componemos estos isomorfismos con el epimorfismo q ξ : A p → A p,r,ξ , se obtiene un
epimorfismo de álgebras de Hopf entre los productos cruzados ϕ : K τ # σ H → K r,ξ ¯τ #¯σ L. Este
epimorfismo no es otro que el dado por la fórmula
ϕ(b#h) = p ξ (b)#r(h) para todo b ∈ K, h ∈ H.
En efecto, como ¯ξ es un morfismo de ¯K-módulos a izquierda y ¯γ es un morfismo de L-comódulos