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INTRODUCCIÓN
En el Capítulo 3 discutimos algunos resultados generales sobre álgebras de Hopf de dimensión
finita y luego los aplicamos para el caso de las álgebras de Hopf de dimensión p 3 . De acuerdo a
los elementos de tipo grupo de H y H ∗ existen sólo 10 casos posibles, salvo dualidades. De esos 10
casos, mostramos que en 8 de ellos es posible determinar la estructura del álgebra de Hopf.
Diremos que un álgebra de Hopf H de dimensión p 3 es extraña si H es simple como álgebra de
Hopf, no semisimple y si H y H ∗ no son punteadas. Se verá que un álgebra de Hopf H de dimensión
p 3 es isomorfa a un álgebra de Hopf de la lista (a), . . . , (k), o
(I) H es extraña, G(H) ≃ Z/(p) y G(H ∗ ) = 1, o
(I*) H es extraña, G(H) = 1 y G(H ∗ ) ≃ Z/(p), o
(II) H es extraña, G(H) ≃ Z/(p), y G(H ∗ ) ≃ Z/(p).
Cabe destacar que no se sabe si un álgebra de Hopf extraña existe o no. Claramente, el caso (I*) es
dual a (I) y el caso (II) es autodual. Por lo tanto, sólo tendremos en cuenta los casos (I) y (II).
En la Subsección 3.1.1, se estudian álgebras de Hopf de dimensión p 3 no semisimples tales que
G(H) ≃ G(H ∗ ) ≃ Z/(p). El orden de la antípoda de tales álgebras de Hopf es necesariamente 2p
o 4p. Si el orden es 2p, entonces H es una bosonización del álgebra de grupo k[G(H)]. En este
caso, creemos que H es isomorfa a un álgebra de Hopf libro h(q, m), para algún q ∈ G p {1}, y
m ∈ Z/(p) {0}. Si el orden es 4p, entonces H satisface (II), y todos los elementos casi-primitivos
de H son triviales, es decir, están contenidos en k[G(H)]. Radford y Schneider [RS2] conjeturaron
que el cuadrado de la antípoda de cualquier álgebra de Hopf de dimensión finita debe satisfacer
una cierta condición, la cual llamaron la condición fuerte de anulación de la traza. Si H es un
álgebra de Hopf de dimensión finita y B es la única subálgebra de Hopf semisimple maximal de H,
entonces se deduce de la conjetura que el orden del cuadrado de la antípoda de H debe dividir a
dim H/ dim B, ver [RS2, Thm. 6]. En particular, si la conjetura es cierta y la dimensión de H es p 3
y |G(H)| = |G(H ∗ )| = p o |G(H)| = p y |G(H ∗ )| = 1, entonces el orden de la antípoda debe ser 2p.
Por otro lado, se sabe que los núcleos de Frobenius-Lusztig u q (sl 2 ) y las álgebras de grupo
admiten una estructura cuasitriangular, ver por ejemplo [K, IX. 7]. En la Sección 3.2 probamos que
éstas son las únicas álgebras Hopf cuasitriangulares contenidas en la lista. Probamos además en el
Teorema 3.2.10 que no existen álgebras de Hopf cuasitriangulares de dimensión p 3 que satisfagan la
condición (I). Específicamente, si H es un álgebra de Hopf cuasitriangular de dimensión p 3 , entonces
(i) H es isomorfa a un álgebra de grupo o a u q (sl 2 ), o
(ii) H satisface (II) y la aplicación f R : H ∗cop → H es un isomorfismo. Más aún, H y H ∗ son
cuasitriangulares minimales, 1 =< β, x >, para todo β ∈ G(H ∗ ), x ∈ G(H) y ord S = 4p.
Una consecuencia de esto es el Corolario 3.2.11, el cual nos dice que toda álgebra de Hopf de
cintas de dimensión p 3 es, o bien un álgebra de grupo, o bien un núcleo de Frobenius-Lusztig.
Además, usando algunos resultados de [AN] y [BD] sobre acotaciones para la dimensión del primer
término H 1 de la filtración corradical de H, clasificamos las álgebras de Hopf cuasitriangulares de
dimensión 27.
En 1975, I. Kaplansky conjeturó que las álgebras de Hopf de una dimensión fija son finitas salvo
isomorfismos. A fines de los 90, varios autores han demostrado que esta conjetura es falsa. Por