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4.1. ÁLGEBRAS DE COORDENADAS CUANTIZADAS 47
Definición 4.1.8. Sean U y H dos álgebras de Hopf sobre un anillo A. Un apareamiento de
Hopf entre U y H es una forma bilineal (−, −) : H ×U → A tal que para todo u, v ∈ U y f, h ∈ H,
(i) (h, uv) = (h (1) , u)(h (2) , v);
(ii) (fh, u) = (f, u (1) )(h, u (2) );
(iii) (1, u) = ε(u) y (h, 1) = ε(h);
(iv) (h, S(u)) = (S(h), u).
Dado un apareamiento de Hopf, los morfismos inducidos U → H ∗ y H → U ∗ son en realidad
morfismos de la forma U → H ◦ y H → U ◦ que resultan ser morfismos de álgebras de Hopf, donde
H ◦ y U ◦ son los duales de Sweedler de H y U respectivamente. El apareamiento se dice perfecto o
no degenerado si los morfismos anteriores son inyectivos.
Proposición 4.1.9. Existe un apareamiento de Hopf perfecto entre R q [G] y Γ(g)
R q [G] ⊗ R Γ(g) → R
que induce un apareamiento de Hopf perfecto entre O ɛ (G) Q(ɛ) y Γ ɛ (g)
O ɛ (G) Q(ɛ) ⊗ Q(ɛ) Γ ɛ (g) → Q(ɛ).
En particular, O ɛ (G) Q(ɛ) ⊆ Γ ɛ (g) ◦ y Γ ɛ (g) ⊆ O ɛ (G) ◦ Q(ɛ) .
Demostración. Ver [DL, Lemmas 4.1 y 6.1].
Si k es cualquier cuerpo que contiene a Q(ɛ), se puede construir una k-forma de O ɛ (G) Q(ɛ) , a
saber O ɛ (G) k := O ɛ (G) Q(ɛ) ⊗ Q(ɛ) k. Cuando k = C, simplemente escribimos O ɛ (G) para O ɛ (G) C .
Los siguientes resultados implican, por la Proposición 2.1.6, que O ɛ (G) es una extensión central de
O(G) por un álgebra de Hopf de dimensión finita.
Teorema 4.1.10. (a) O ɛ (G) contiene una subálgebra de Hopf central isomorfa al álgebra de funciones
coordenadas O(G) en G.
(b) O ɛ (G) es un O(G)-módulo proyectivo finitamente generado de rango l dim G .
Demostración. Ver [DL, Prop. 6.4 y Thm. 7.2].
Más aún, Brown, Gordon y Strafford mostraron lo siguiente.
Teorema 4.1.11. O ɛ (G) es un O(G)-módulo libre de rango l dim G .
Demostración. Ver [BG, Section III.7.11].