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5.2. CONSTRUCCIÓN DE SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS 81
que evidentemente resulta ser directo. En particular, Σ es el subgrupo abeliano generado por los
elementos K αi tales que α i ∈ I = I + ∪ −I − y por monomios M compuestos por elementos K n i j
α ij
tales que α ij /∈ I, 0 ≤ n ij < l.
Notar además que dar un subgrupo Σ tal que (Z/(l)) n−s ⊆ Σ ⊆ (Z/(l)) n es lo mismo que dar
un subgrupo Ω ⊆ (Z/(l)) s , y que es lo mismo que dar un subgrupo N ⊆ (Ẑ/(l))s = (Z/(l)) s , donde
N es el núcleo del morfismo de grupos ρ : (Ẑ/(l))s = (Ẑ/(l))s → ̂Ω entre los grupos de caracteres
inducido por la inclusión de Ω en (Z/(l)) s .
En particular, tenemos que
(Z/(l)) n−s ⊆ Σ ⊆ (Z/(l)) n Ω ⊆ (Z/(l)) s N ⊆ (Z/(l)) s . (5.12)
|Σ| = l n−s |Ω| = ln
|N| .
Definición 5.2.12. Para todo 1 ≤ i ≤ n tal que α i /∈ I + o α i /∈ I − definimos D i ∈ G(u ɛ (l) ∗ ) =
Alg(u ɛ (l), C) en los generadores de u ɛ (l) por
D i (E j ) = 0 ∀ j, α j ∈ I + , D i (F k ) = 0 ∀ k, α k ∈ I − ,
D i (K αt ) = 1 ∀ t ≠ i, 1 ≤ t ≤ n, D i (K αi ) = ɛ i ,
donde ɛ i es una raíz l-ésima primitiva de la unidad. Si α i /∈ I + o α i /∈ I − , se tiene que E i o F i no es
un generador de u ɛ (l), respectivamente. Luego, D i es un morfismo de álgebras bien definido, pues
verifica todas las relaciones de la Observación 4.1.5. Notar que las únicas relaciones que pueden
traer conflicto son (4.17) y (4.18), pero éstas no son relaciones en u ɛ (l) por la condición sobre i.
Así, si Π (I + ∪ −I − ) = {α i1 , . . . , α is } y N ⊆ (Z/(l)) s , se corresponde a Σ como en la Observación
5.2.11, definimos para todo z = (z 1 , . . . , z s ) ∈ N el elemento de tipo grupo
D z := D z 1
i 1 · · · D z s
i s
.
Lema 5.2.13. (a) Si α i /∈ I entonces D i es central. En particular D z es central par todo z ∈ N.
(b) H ≃ u ɛ (l) ∗ /(D z − 1|z ∈ N).
Demostración. (a) Para ver que D i es central, tenemos que ver que D i f = fD i para todo
f ∈ u ɛ (l) ∗ . Observar que D i coincide con la counidad de u ɛ (l) salvo en aquellos elementos de la base
que contengan a alguna potencia de K αi , que es un elemento de tipo grupo. Además, como α i /∈ I,
de las relaciones en la Observación 4.1.5 se sigue que K αi es un elemento central en u ɛ (l). Más aún,
por el Lema 5.2.2 sabemos que u ɛ (l) tiene una base de la forma
{ ∏
β≥0
F n β
β
·
n∏
i=1
K t i
α i · ∏
α≥0
E m α
α
}
: 0 ≤ n β , t i , m α < l, con β ∈ Q I− , α ∈ Q I+ , 1 ≤ i ≤ n .
Así, todo monomio de esta base es de la forma K t i
α i
M con 0 ≤ t i < l. Entonces se tiene que
D i f(K t i
α i
M) = D i (K t i
α i
M (1) )f(K t i
α i
M (2) ) = D i (K t i
α i
)D i (M (1) )f(K t i
α i
M (2) )
= ɛ t i
i ε(M (1))f(K t i
α i
M (2) ) = ɛ t i
i f(Kt i
α i
M)
= fD i (K t i
α i
M),