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5.1. SUBÁLGEBRAS DE HOPF DE UN ÁLGEBRA DE HOPF PUNTEADA 71
Siendo poco exactos pero descriptivos, diremos que “N es un submódulo de Yetter-Drinfeld
sobre B”, aunque M no sea necesariamente un módulo de Yetter-Drinfeld sobre B.
Lema 5.1.1. Sea Y una subálgebra de Hopf de U. Entonces el corradical Y 0 es una subálgebra
de Hopf y el diagrama S de Y es una subálgebra de Hopf trenzada de R (en el sentido de [Tk]).
Si R = B(V ) es un álgebra de Nichols tal que dim V < ∞, entonces S es también un álgebra de
Nichols. En este caso, las subálgebras de Hopf de U están parametrizadas por pares (Y 0 , W ) donde
Y 0 es una subálgebra de Hopf de U 0 y W ⊂ V = R(1) es Y 0 -compatible.
Demostración. La primera afirmación se sigue del hecho que Y 0 = Y ∩ U 0 y la intersección de
dos subálgebras de Hopf es una subálgebra de Hopf. Más aún, por [Mo, Lemma 5.2.12], la filtración
corradical de Y está dada por Y n = Y ∩ U n ; por lo tanto existe un morfismo homogéneo inyectivo
de álgebras de Hopf γ : gr Y ↩→ gr U que induce el siguiente diagrama conmutativo
gr Y
π Y
Y 0
γ
gr U
π
U 0 .
Así, S = (gr Y ) co π Y
= {a ∈ gr Y : (id ⊗π Y )∆(a) = a ⊗ 1} es una subálgebra de R que es además
un subespacio vectorial trenzado. Más aún, como γϑ S = ϑ R γ y γ es de álgebras de Hopf, cf. (5.1),
se sigue que S es una subcoálgebra de R y por lo tanto una subálgebra de Hopf trenzada de R.
Supongamos ahora que R ≃ B(V ) es un álgebra de Nichols con dim V < ∞. Tomando duales
graduados, i. e. la suma directa de los espacios duales de las componentes homogéneas, se tiene un
epimorfismo de álgebras de Hopf graduadas trenzadas ℘ : B(V ∗ ) → S gr dual . Como B(V ∗ ) y Sgr dual
son coalgebras irreducibles punteadas, por [Sw, Thm. 9.1.4], ℘ manda la filtración corradical de
la primera suryectivamente sobre la filtración corradical de la segunda. Por ende, P(S gr dual ) =
S gr dual (1) y a fortiori S está generada en grado 1, i. e. es un álgebra de Nichols. Además, Y
está determinada por Y 0 y S(1), siendo este último Y 0 -compatible. Recíprocamente, si Y 0 es una
subálgebra de Hopf de U 0 y W ⊂ R(1) es Y 0 -compatible, entonces se pueden elegir (y i ) i∈I en U 1 tal
que las clases (y i ) i∈I en U 1 /U 0 generan W #1. Entonces la subálgebra Y de U generada por Y 0 y
(y i ) i∈I es una subálgebra de Hopf de U que se corresponde al par (Y 0 , W ).
Observación 5.1.2. El lema anterior también es válido si V es localmente finito como espacio
trenzado, i. e. para todo v ∈ V existe un subespacio trenzado W ⊆ V tal que v ∈ W y dim W < ∞.
Volvamos ahora a las subálgebras de Hopf de álgebras de Hopf punteadas. La noción de “compatibilidad”
para grupos se puede leer de la siguiente manera. Sean G un grupo y M un módulo
de Yetter-Drinfeld sobre C[G]. Si F es un subgrupo de G, un subespacio vectorial N de M es
F -compatible si
(i) es estable bajo la acción de F , y
(ii) es un C[G]-comódulo y el soporte Sup N := {g ∈ G : N g ≠ 0} está contenido en F .
Corolario 5.1.3. Sea U un álgebra de Hopf punteada cuyo diagrama R es un álgebra de Nichols.
Entonces las subálgebras de Hopf de U están parametrizadas por pares (F, W ) donde F es un
subgrupo de G(U) y W ⊂ R(1) es F -compatible.