Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁSICOS 5
Ejemplo 1.1.13. Sea (H, m, u, ∆, ε, S) un álgebra de Hopf. Entonces (H op , m op , u, ∆, ε, S −1 )
y (H cop , m, u, ∆ cop , ε, S −1 ) son álgebras de Hopf, donde H op = H como coálgebra pero con la
multiplicación opuesta y H cop = H como álgebra pero con la comultiplicación opuesta, esto es,
∆ cop (h) = h (2) ⊗ h (1) para todo h ∈ H.
Ejemplo 1.1.14. Sea G un grupo. Entonces el álgebra de grupo k[G] es un álgebra de Hopf
con la antípoda determinada por
S(e g ) = e g −1 para todo g ∈ G.
Ejemplo 1.1.15. Sean g un álgebra de Lie y U(g) su álgebra envolvente universal. Entonces
U(g) es un álgebra de Hopf con la estructura determinada por
∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, ε(x) = 0, S(x) = −x para todo x ∈ g.
Luego, x ∈ P 1,1 (U(g)) para todo x ∈ g. Más aún, se puede ver que P 1,1 (U(g)) es un álgebra de Lie
y P 1,1 (U(g)) = g. Para cualquier álgebra de Hopf H, a los elementos casi-primitivos P 1,1 (H) de H
se los denomina elementos primitivos.
Ejemplo 1.1.16. Sea N ≥ 2 un número entero y sea q ∈ k una raíz N-ésima primitiva de la
unidad. El álgebra de Taft T (q) es la k-álgebra dada por generadores g, x y relaciones g N = 1,
x N = 0 y gx = qxg. T (q) posee una estructura de álgebra de Hopf determinada por
∆g = g ⊗ g, ∆x = x ⊗ 1 + g ⊗ x,
de donde se sigue que ε(g) = 1, ε(x) = 0, S(g) = g −1 y S(x) = −g −1 x. Es sabido que T (q) es
un álgebra de Hopf punteada tal que G(T (q)) = 〈g〉 ≃ Z/(N). Las subálgebras de Hopf propias de
T (q) están contenidas en k〈g〉, y por lo tanto son semisimples. Además se tiene que:
(i) T (q) ≃ T (q) ∗ ,
(ii) T (q) ≃ T (q ′ ) si y sólo si q = q ′ .
Más aún, se puede ver que T (q) cop ≃ T (q) op ≃ T (q −1 ); en particular, T (q) ∗ cop ≃ T (q −1 ). El
cuadrado de la antípoda de T (q) coincide con el automorfismo interno inducido por g. Por lo tanto,
S 4 ≠ id si N > 2.
Ejemplo 1.1.17. Sea A una k-álgebra. El dual finito o dual de Sweedler de A está dado por
A ◦ = {f ∈ A ∗ | f(I) = 0, para algún ideal bilátero I de A tal que dim A/I < ∞}.
Si (A, m, u, ∆, ε, S) es un álgebra de Hopf, entonces A ◦ es un álgebra de Hopf con los morfismos de
estructura dados por
m A ◦ = ∆ ∗ : A ◦ ⊗ A ◦ → A ◦ < ∆ ∗ (f, g), a > = < f ⊗ g, ∆(a) >,
u A ◦ = ε ∗ : k → A ◦ < ε ∗ (λ), a > = λ < ε, a >,
∆ A ◦ = m ∗ : A ◦ → A ◦ ⊗ A ◦ < m ∗ (f), a ⊗ b > = < f, ab >,
ε A ◦ = u ∗ : A ◦ → k u ∗ (f) = < f, 1 >,
S A ◦ = S ∗ : A ◦ → A ◦ < S ∗ (f), a > = < f, S(a) >,
para todo a, b ∈ A, f, g ∈ A ◦ . En particular, si A es de dimensión finita, A ◦ = A ∗ y por lo tanto
(A ∗ , ∆ ∗ , ε ∗ , m ∗ , u ∗ , S ∗ ) resulta ser un álgebra de Hopf.