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Capítulo 4
Extensiones de grupos cuánticos finitos
por grupos finitos
Sea G un grupo de Lie conexo, simplemente conexo y semisimple sobre C, con álgebra de Lie
g, matriz de Cartan C y matriz simetrizada de Cartan CD. Sea l ≥ 1 un número natural impar,
coprimo con det CD. Dada una inclusión σ de un grupo finito Γ en G y una raíz l-ésima primitiva de
la unidad ɛ, construimos en este capítulo una extensión central A σ del álgebra de funciones C Γ por el
dual del núcleo de Frobenius-Lusztig u ɛ (g); A σ es un cociente del álgebra de coordenadas cuantizada
O ɛ (G) y dim A σ = |Γ|l dim g . Más aún, si G es simple y σ(Γ) no es central en G, obtenemos una
familia infinita de Hopf álgebras de Hopf no isomorfas entre sí que son no semisimples, no punteadas
y sus duales tampoco son punteados. Esto generaliza un resultado obtenido por E. Müller [Mu2] para
SL 2 (C). Sin embargo, en la Subsección 4.2.4 mostramos, siguiendo algunos resultados de Masuoka
[Mk5], que estas álgebra de Hopf son deformaciones por cociclos unas de otras.
4.1. Álgebras de coordenadas cuantizadas
En esta sección recordamos la definición del álgebra de coordenadas cuantizada de G y que
la misma es una extensión central de O(G), el álgebra de funciones coordenadas de G. Sea R =
Q[q, q −1 ], con q una indeterminada. En [DL], De Concini y Lyubashenko construyen una forma
integral Γ(g) del álgebra envolvente cuantizada U q (g), la cual es una R-álgebra de Hopf. Usando
la teoría de representaciones de Γ(g), definen una R-subálgebra del dual de Sweedler de Γ(g) (ver
Ejemplo 1.1.17), obteniendo así una R-álgebra de Hopf R q [G].
Para más información sobre las definiciones y las demostraciones de los resultados que aquí se
enuncian, ver loc. cit. o el libro de Jantzen [J]. Allí se demuestran los resultados con gran detalle.
4.1.1. Definiciones
Comenzamos primero recordando la información asociada a g:
• Denotaremos por C = (a ij ) a la matriz de Cartan con respecto a alguna elección de una
subálgebra de Cartan h y raíces simples Π = {α 1 , . . . , α n }.
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