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102 A.3. SUBÁLGEBRAS MAXIMALES NO REGULARES
Tabla A.6: Subálgebras maximales no regulares simples de sl N
m dim m N dim sl N dim sl N − rg sl N
C n n(2n + 1) 2n 4n 2 − 1 4n 2 − 2n
n ≥ 3
B n n(2n + 1) 2n + 1 4n 2 + 4n 4n 2 + 2n
n ≥ 2
D n n(2n − 1) 2n 4n 2 − 1 4n 2 − 2n
n ≥ 4
A n n(n + 2)
n ≥ 3
A n n(n + 2)
n ≥ 2
n(n+1)
2
(n+1)(n+2)
2
n 2 (n+1) 2
4
− 1
(n+1) 2 (n+2) 2
4
− 1
n 2 (n+1) 2
4
− n(n+1)
2
(n+1) 2 (n+2) 2
4
− (n+1)(n+2)
2
D 5 45 16 255 240
E 6 78 27 728 702
Pero n(2n + 1) = 2n 2 + n < 4n 2 − 2n ⇔ 0 < 2n 2 − 3n ⇔ 0 < n(2n − 3) ⇔ n ≥ 2.
Caso 2: m de tipo B n . Debemos ver que
n(2n + 1) < 4n 2 + 2n para todo n ≥ 2. (A.13)
Pero n(2n + 1) = 2n 2 + n < 4n 2 + 2n ⇔ 0 < 2n 2 + n ⇔ n ≥ 1.
Caso 3: m de tipo D n se sigue del caso 1.
Caso 4: m de tipo A n , n ≥ 3. Debemos ver que
n(n + 2) < n2 (n + 1) 2
−
4
n(n + 1)
2
para todo n ≥ 3.
(A.14)
Pero (A.14) se satisface si y sólo si se satisface la desigualdad
4n(n + 2) < n(n + 1)(n(n + 1) − 1) para todo n ≥ 3,
y ésta siempre se cumple ya que 4 ≤ n + 1 y n + 2 < n(n + 1) − 1 si n ≥ 3.
Caso 5: m de tipo A n , n ≥ 2. Debemos ver que
n(n + 2) < (n + 1)2 (n + 2) 2
4
−
(n + 1)(n + 2)
2
para todo n ≥ 2.
(A.15)
Análogamente al caso anterior, (A.15) se satisface si y sólo si se satisface la desigualdad
4n(n + 2) < (n + 1)(n + 2)((n + 1)(n + 2) − 1) para todo n ≥ 2,
y ésta siempre se cumple ya que 2 < n + 1 y 2n < (n + 1)(n + 2) − 1 si n ≥ 2.